Los tres puntos de la circunferencia

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Fíjate, hoy me he levantado con morriña algebraica. Y voy a aprovecharla para hablar de un problema que parece el típico de hacer cálculos, pero cuya solución es mucho más elegante. Además, las líneas generales se pueden seguir con un nivel de Bachiller, lo que es de agradecer. Vamos al lío:

Problema de la circunferencia

Te dan las coordenadas de tres puntos del plano. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia que pasa por ellos?

Para que luego no haya sorpresas os confieso que me importa un pimiento la ecuación de la circunferencia. Nunca me han gustado este tipo de problemas, la verdad. Pero la solución de este es elegante, curiosa. Y, para entenderla, mejor empezar por un problema ligeramente más sencillo.

Una recta que pasa por dos puntos

Empezamos por una versión simplificada del problema. Sobre el plano euclídeo nos dan las coordenadas de dos puntos:

a=(x_1,y_1), ~~~~~~~~b=(x_2, y_2).

Y alguien nos pregunta que cuál es la recta que pasa por esos dos puntos, que cuál es su ecuación.

En general, la ecuación de una recta está dada por una expresión similar a esta,

Ax+By+C=0,

donde A, B y C son tres números a determinar. No pongo en duda que, como todo hijo de vecino, conoces veintisiete métodos distintos para encontrar la ecuación de una recta, pero aquí te propongo uno seguramente más enrevesado: imagina que A, B y C son tres incógnitas que desconoces, monta un sistema de tres ecuaciones con ellas y, después, resuélvelo. Parece un método largo y complicado, lo sé, pero ya verás.

Para empezar, tenemos que encontrar tres ecuaciones. Sabemos que nuestra recta pasa por los puntos a y b, es decir, que si sustituyes sus coordeandas en la ecuación de la recta, la expresión debe ser cierta. Por ende, es cierto que:

\begin{align*} 

&Ax_1&+&By_1&+C &=  0, \\ 
&Ax_2 &+ &By_2 &+C&=  0.
\end{align*}

Además, un punto cualquiera de la recta, con coordenadas p=(x,y), también debe cumplir la ecuación de la recta, Ax+By+C=0. Me puedes decir: oye, pero no sé cuánto vale la x o la y. En efecto, nadie lo sabe. Representan las coordenadas de un punto genérico. Solo sabes que si quieres que el punto p=(x,y) esté en tu recta, debe cumplir la ecuación de la recta.

Así pues, llegamos a un sistema de tres incógnitas (A, B y C), tres ecuaciones y, además, homogéneo.

\begin{align*} 
&Ax&+&By&+C &=  0, \\ 
&Ax_1&+&By_1&+C &=  0, \\ 
&Ax_2 &+ &By_2 &+C&=  0.
\end{align*}

Lo colocamos en forma matricial, para que sea todo más limpio, e intentamos resolverlo.

\begin{pmatrix}
x &y &1 \\
x_1 &y_1 &1 \\
x_2 &y_2 &1 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
A \\
B\\
C 
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
0 \\
0\\
0 
\end{pmatrix}

Hay una solución evidente para este sistema: A=B=C=0. Pero si los tres parámetros fueran cero a la vez, la ecuación de la recta sería algo tipo 0=0, una desfachatez que no aporta información relevante.

Si queremos que este sistema tenga otra solución, una solución útil y distinta a la anterior, no puede ser compatible determinado (porque, en ese caso, la solución sería única). Necesitamos que el sistema tenga más de una solución, que sea compatible indeterminado.

Aquí hay que echar mano del libro de álgebra (o peor: hacer memoria), y recordar que el sistema de arriba solo puede ser indeterminado si el determinante de la matriz asociada es nulo. Es decir, si queremos que exista la ecuación de la recta no queda más remedio que se cumpla que:

\begin{vmatrix}
x &y &1 \\
x_1 &y_1 &1 \\
x_2 &y_2 &1 
\end{vmatrix} = 0 

Y esta, damas y caballeros, es la ecuación de la recta. Desarrollas el determinante, simplificas la expresión y obtienes lo que buscabas. En serio.

Por poner un ejempo, la recta que pasa por los puntos a=(1,2) y b=(2,3) es la siguiente:

\begin{vmatrix}
x &y &1 \\
1 &2 &1 \\
2 &3 &1 
\end{vmatrix} = 2x+2y+3-4-3x-y= 0

Si arreglamos la segunda igualdad llegamos a la ecuación deseada:

y=x+1

Lo sé, es extraño. La idea era encontrar la ecuación de la recta resolviendo un sistema, ¡pero no hemos llegado a resolverlo! Y, aún así, hemos encontrado el resultado que buscábamos. Este planteamiento no es tan directo como los tradicionales (y se deberían justificar un par de detalles teóricos que hemos pasado por alto en pro de una buena línea argumental) pero la fórmula resultante es sencilla y compacta. Y lo más importante: sirve para resolver muchos problemas parecidos.

Tres puntos definen una circunferencia

En estas que llegamos al problema del principio: encontrar la ecuación de una circunferencia que pasa por tres puntos del plano.

Digamos que esos puntos se llaman

a=(x_1,y_1), \\ b=(x_2,y_2), \\ c=(x_3,y_3).

Si los puntos no están alineados, existirá una única circunferencia que pasa por los tres a la vez. Nuestro objetivo ahora es encontrar su ecuación.

La ecuación general de la circunferencia es de este estilo,

(x-x_c)^2+(y-y_c)^2 = R^2 ,

donde (x_c,y_c) es el centro de la circunferencia y R su radio. Desarrolla los cuadrados, agrupa términos y escríbelo de forma bonita, y llegarás a una ecuación similar, de la forma

A(x^2+y^2) + Bx + Cy + D = 0

Esta es la ecuación de una circunferencia general. Ahora tenemos que encontrar el valor de A, B, C y D para que la figura pase por los tres puntos del enunciado.

Para ello procedemos de la misma forma que antes: sustituimos las coordenadas de los tres puntos y conseguimos tres ecuaciones. Además, un punto cualquiera del plano, p=(x,y), pertenece a la circunferencia si satisface la expresión de la circunferencia. En resumen, y actuando de manera análoga al apartado anterior, conseguimos cuatro ecuaciones que forman un sistema:

\begin{align*} 
&A(x^2+y^2) &+ & Bx &+&Cy&+&D&=  0\\
&A(x_1^2+y_1^2) &+ & Bx_1 &+&Cy_1&+&D&=  0\\
&A(x_2^2+y_2^2) &+ & Bx_2 &+&Cy_2&+&D&=  0\\
&A(x_3^2+y_3^2) &+ & Bx_3 &+&Cy_3&+&D&=  0
\end{align*}

Esta belleza de cuatro ecuaciones y cuatro incógnitas nos permite encontrar el valor de los parámetros A, B, C y D. Igual que antes, lo mejor es escribirlo en forma matricial:

\begin{pmatrix} 
x^2+y^2 & x &y  &1 \\\\
x_1^2+y_1^2 & x_1 &y_1  &1 \\\\
x_2^2+y_2^2 & x_2 &y_2  &1 \\\\
x_3^2+y_3^2 & x_3 &y_3  &1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
A \\\\
B\\\\
C\\\\
D
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
0 \\\\
0\\\\
0 \\\\
0
\end{pmatrix}

Y a partir de aquí las ideas no son nuevas. Una de las soluciones del sistema se ve a ojo, y es que las cuatro incógnitas sean nulas: A=B=C=D=0. Para que exista otra solución el sistema debe ser indeterminado y, para ello, la única opción es que se cumpla que:

\begin{vmatrix}
x^2+y^2 & x &y  &1 \\\\
x_1^2+y_1^2 & x_1 &y_1  &1 \\\\
x_2^2+y_2^2 & x_2 &y_2  &1 \\\\
x_3^2+y_3^2 & x_3 &y_3  &1
\end{vmatrix} =0

Esta es la ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos. Compacta, simétrica y bella. Pon la canción de Fix You de fondo mientras la escribes en el papel y se te saltarán las lágrimas de la emoción.

Por traer el ejemplo a tierra y darle algún valor numérico, supongamos que los puntos son a=(1,1), b=(4,0) y c=(6,2). En ese caso, la ecuación que buscamos equivale a desarrollar este determinante.

\begin{vmatrix}
x^2+y^2 & x &y  &1 \\
1^2+1^2 & 1 &1  &1 \\
2^2+0^2 & 2 &0  &1 \\
6^2+2^2 & 6 &2  &1
\end{vmatrix} =0

Después de algunos cálculos tediosos, la ecuación anterior se reduce a

6 x^2 + 6 y^2 - 40 x - 28 y + 56 = 0

Una cónica, cinco puntos

Vale, las ideas generales ya están sobre la mesa. Y se pueden llevar hasta un teorema que descubrí de pequeño, trasteando con Geogebra: una cónica queda definida con cinco puntos del plano. Pero vayamos por partes.

Una cónica es un tipo de curva que se puede presentar de cuatro formas distintas: circunferencia, elipse, parábola e hipérbola. Visulamente no es que tengan mucho en común, pero a nivel de ecuaciones todas siguen, más o menos, la misma fórmula. Todas siguen la ecuación

Ax^2 + By^2 + C xy + Dx +E y + F=0

Es decir, una cónica es lo que aparece cuando mezclas en una ecuación todas las combinaciones de x e y que tengan grado menor o igual que dos. En función del valor de A, B, C, D, E y F, la curva resultante tendrá aspecto de circunferencia, de parábola o de una de sus compañeras. Hay un par de excepciones que se denominan degeneradas, donde el resultado podría tener forma de línea recta, por ejemplo, pero ahora no las vamos a tener en cuenta.

Pues bien, resulta que si dibujas cinco puntos en el plano, evitando que tres estén alineados, lo más normal es que por ellos pase una única cónica. De hecho, aquí puedes mover estos puntos y comprobar que lo que digo tiene cierto sentido visual:

Demostraciones y detalles al margen, que podrían alargar esto más de lo necesario, la ecuación de la cónica que pasa por los cinco puntos se puede encontrar, en general, con un determinante similar a los de antes. Sin más preámbulos, la ecuación de la cónica es:

\begin{vmatrix}
x^2 & y^2 & xy & x &y & 1\\ \\
x_1^2 & y_1^2 & x_1y_1 & x_1 &y_1 & 1\\ \\
x_2^2 & y_2^2 & x_2y_2 & x_2 &y_2 & 1\\ \\
x_3^2 & y_3^2 & x_3y_3 & x_3 &y_3 & 1\\ \\
x_4^2 & y_4^2 & x_4y_4 & x_4 &y_4 & 1\\ \\
x_5^2 & y_5^2 & x_5y_5 & x_5 &y_5 & 1\\ 
\end{vmatrix} =0,

donde (x_i, y_i) son las coordenadas de los cinco puntos por los que quieres que pase la curva.

Y así cerramos este capítulo. Quizá le falta algún comentario sobre la independencia lineal de los polinomios o sobre en qué condiciones funciona el método del determinante. Como se suele decir, se deja como ejercicio al lector.