Tren de potencias

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En lo que respecta a los números, John Conway es una mente inquieta. En sus ratos libres se dedica a proponer conceptos matemáticos ingeniosos y poco convencionales. A finales de 2007 inventó lo que se conoce como tren de potencias

Definición. El tren de potencias de un número abcd es el número a^b c^d . Es decir: separas las cifras por parejas y elevas unas a otras.

A veces el número tiene más de cuatro cifras, pero la idea se puede extender intuitivamente. Además, si la cantidad de dígitos es impar, la última cifra no tiene ningún exponente. Por ejemplo, el tren de potencias de 12~345 sería

12~345~~~\rightarrow~~~ 1^2\cdot 3^4\cdot 5 = 405

 Por comodidad, se acepta 0^0=1.

Una piedra en el zapato

¿Para qué sirve el tren de potencias? En realidad, para nada. Se limita a destruir números. Si aplicamos este algoritmo repetidamente a cualquier número, por muy grande que sea, acabaremos con una única cifra como resultado. Por ejemplo:

5234 ~~~\rightarrow~~~5^2\cdot 3^4=2025\\
2025 ~~~\rightarrow~~~2^0\cdot 2^5=32~~~~\\
32 ~~~\rightarrow~~~3^2=9~~~~~~~~~

Esto convierte al trenecito en un método seguro para reducir cualquier cantidad imaginable a un simple dígito, aunque esta operación sea totalmente inútil y sin aplicaciones prácticas. 

Conway no solo definió este método de reducción tan peculiar, sino que también encontró su talón de Aquiles. Descubrió que el 2592 era un número que no se podía reducir a una sola cifra mediante estas operaciones. Se trataba de una cantidad persistente y narcisista.

2592~~~\rightarrow~~~2^5\cdot 9^2 = 2592

Si aplicas el trenecito repetidamente al 2592 siempre obtienes lo mismo. No consigue reducirlo.

Lo lógico ahora sería preguntarse si esta la única excepción del tren de potencias o hay más cantidades que se le resisten. Neil Sloane, compañero de Conway, se unió a la búsqueda y encontró un segundo elemento. Ojo, que es grande.

2^4 5^4  7^2 8^4 2^8 4^8 6^6 5^6 0^0 0^0 0^0 0^0 0^0  = 24~547~284~284~866~560~000~000~000

En la actualidad se conjetura que no existe ninguna excepción más. Se ha comprobado que, salvo estos dos puntos fijos, los números inferiores a 10^{100} son todos reducibles a una cifra mediante el tren de potencias. Y qué te voy a decir, es muy curioso. Parece increíble que el algoritmo falle en estas dos cantidades y funcione con la infinidad de posibilidades restantes, ¿verdad?

Secuencia A135385.