El teorema de Midy es una de esas joyas numéricas, inadvertida entre fracciones y números primos, que brilla con una sencillez majestuosa. Su principal resultado es fácil de comprobar. Considera una fracción, ya reducida, donde el numerador sea un número natural y el denominador un número primo diferente de 2 o de 5. En ese caso, la expresión decimal de la fracción será un número periódico puro.
Hasta aquí, nada nuevo. Pero si el periodo de la fracción tiene una cantidad par de cifras, entonces se puede partir en dos trozos con una propiedad muy llamativa:
Qué espectáculo, todos suman nueve. Esta es la magia del teorema de Midy: si puedes partir el periodo de una fracción en dos trozos de n cifras, entonces la suma de los trozos es un número formado por n nueves.
La demostración del teorema de Midy no es muy complicada, pero requiere conocer una notación que no se suele enseñar hasta la universidad y que, además, puede enmascarar las ideas principales entre símbolos extraños. Por eso, te propongo una demostración un poco más informal pero intuitiva del teorema. ¡Al lío!
Decimales de una fracción
En primer lugar, cojamos confianza con los decimales de una fracción \frac{1}{p}, donde p es un número primo distinto de 2 y 5. Como este número tiene un desarrollo decimal puro, sale a cuenta escribir el numerador como 0,\overline{9} e interpretar la fracción como si se tratara de una división. Por ejemplo, para el número 1/7 tendríamos
Ahora, como los dos lados de la igualdad son números periódicos, resultan más fáciles de comparar: es como repetir la división 999999/7 infinitas veces.
Esto deja a la vista varias cosas. La primera es una relación entre el periodo de la fracción y el número primo: 142857\cdot 7 = 999999. La segunda, y que cobrará importancia más adelante, es que el número 7 no divide a un número con una cantidad menor de nueves. Es decir, la divisiones
no son exactas. La primera vez que la división 99\cdots 99/7 es exacta, no le queda más remedio que tener la longitud de su periodo. Así, podemos repetir el resultado una y otra vez, de forma periódica.
Por supuesto, esto debe funcionar más allá del número 7. Y, en efecto, podemos comprobar que cualquier número primo p tiene un múltiplo formado únicamente por nueves. ¿Cuántos nueves? Tantos como cifras tenga el periodo de \frac{1}{p}. A modo de ejemplo:
Fórmula general
Ya que hemos cogido confianza, empecemos con la jerga técnica. En las condiciones del teorema, llamemos al periodo de la fracción P, que estará formado por 2n cifras. Por poner un ejemplo, en el caso de la fracción 1/7, tenemos P=142857 y 2n=6.
Es claro que un periodo que se repite infinitas veces es un engorro sobre el papel. Para quitárselo de encima existe un juego de manos consistente en multiplicar la fracción por 10^{2n}, de modo que uno de los periodos abandone la zona decimal.
Aunque el periodo sigue repitiéndose infinitas veces, hemos conseguido sacar una de sus repeticiones. En estas condiciones, sustituimos el molesto desarrollo decimal por la fracción original,
y despejamos agrupando el 1/7:
Este resultado confirma las cuentas que habíamos hecho en el apartado anterior: que 142857\cdot 7 = 999999. El mismo método, desarrollado de forma general, conduce a la fórmula que relaciona el periodo de una fracción con el primo que la genera
Esta será nuestro punto de partida en la demostración. Puesto que van a ser recurrentes en lo que queda de artículo, un breve recordatorio: el 10^n-1 es un número formado por n nueves: \underbrace{99\cdots 99}_{n}.
En busca del número entero
Con todo este trabajo de campo, demostrar el teorema no es complicado. Tenemos que demostrar que el periodo se puede partir en dos partes que sumen un montón de nueves. Si el periodo P tiene 2n cifras, podemos dividirlo en dos trozos de n cifras, que llamaremos A y B.
Tenemos que demostrar que
Para ello, introducimos, en la fórmula con la que terminábamos el apartado anterior, la nueva manera de escribir el periodo P:
donde hemos aprovechado para introducir una diferencia de cuadrados. Aquí comienza, entonces, la divertida caza del número entero. Es fácil: si la parte izquierda de la igualdad es un número entero, la parte derecha también debe serlo. Dicha parte es la división de un producto de dos números, 10^n+1 y 10^n-1, entre un número primo. Eso solo puede significar una cosa: o p divide al primer término, o divide al segundo. Es decir, uno de estos dos candidatos debe ser entero:
Por suerte, sabemos que p no puede dividir a un número formado por n nueves, como habíamos justificado en la primera sección, y eso es justo lo que sucede en la fracción de la derecha. La única opción, entonces, es que (10^n+1)/p sea un número entero.
Reorganizamos, de nuevo, la expresión de partida:
Si la parte derecha de la igualdad es un número entero, la izquierda también debe serlo. Con un juego de manos (sumar y restar A), podemos escribir la parte izquierda de una manera más provechosa:
Por lo tanto, es obligado que \frac{A+B}{10^n-1} sea un entero positivo para que las cuentas cuadren. Es decir:
Estamos a punto de acabar. Como la fracción inicial es periódica, A+B>0 para que el periodo sea distinto de cero exacto. Pero, además, como A y B son dos números de n cifras, tenemos que A+B<2(10^n-1), es decir, tanto A como B deben ser menores que 10^n-1. Tampoco pueden ser los dos a la vez 10^n-1, puesto que el periodo sería un montón de nueves y, en consecuencia, solo tendría una cifra. Resumiendo estas consideraciones en una expresión:
La única opción, puesto que la fracción es un entero, es que \frac{A+B}{10^n-1}=1, es decir, que A+B=10^n-1. ¡Justo lo que queríamos demostrar! Es decir, si partimos el periodo decimal en dos trozos de n cifras y los sumamos, obtenemos un montón de nueves.
Por supuesto, solo hemos demostrado un caso particular del teorema de Midy, para las fracciones de la forma \frac{1}{p}, pero no es difícil generalizarlo a fracciones reducidas del tipo \frac{a}{p}. Total, si ya están reducidas, el término a se paseará de un lado a otro sin interferir en la búsqueda del entero.