Fracciones continuas: por qué son la mejor aproximación que existe

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Las fracciones continuas son una herramienta matemática que permite aproximar cualquier número de una forma eficaz y sencilla. Por lo menos, eso prometen la mayoría de los libros donde las veo. ¿Qué quiere decir exactamente eso de que es una aproximación perfecta?

Un número sencillo, un problema difícil

Todos los matemáticos le tenemos un cierto cariño a \pi, un número con infinitos decimales que no siguen ningún patrón repetitivo. Creamos programas de ordenador para calcular sus decimales, compramos camisetas con su diseño, organizamos concursos para memorizar sus dígitos y escribimos artículos —como este— fingiendo que todas estas pasiones son normales y de gente cuerda.

Hace unos cuantos siglos, las cosas eran muy distintas: no sabíamos mucho acerca de él. Ni siquiera sus primeros decimales. Sin ir más lejos, Arquímedes, en su tratado Sobre la medida del círculo, determinó que el número \pi estaba bastante cerca de 22/7, y durante mucho tiempo esta fue una aproximación muy aceptada. De hecho, la aproximación de Arquímedes acierta los dos primeros decimales:

\frac{22}{7} \approx 3.1429  ~~~~~~~~~~~~\pi\approx3.1416

Pero surge una duda inocente: ¿por qué elegir una fracción con el número siete en el denominador para hacer la aproximación? ¿No habría sido mejor usar alguna del estilo 314/100, puesto que es más fácil dividir por 100 que por 7? Pregunto, eh.

Una buena aproximación

Vamos a darle un poco de generalidad al problema de Arquímedes. Supón que queremos aproximar un número real \alpha\in\mathbb{R}^{+} con una fracción p/q sencilla, donde p y q son números naturales. En general, el valor de la fracción y el de \alpha serán distintos, estarán separados una cierta distancia. Si esta distancia es pequeña, la aproximación será buena.

Decir que una aproximación es buena no es decir mucho, a no ser que lo cuantifiquemos de alguna manera. Una manera natural de hacerlo es medir la distancia que hay entre el número original \alpha y su aproximación p/q. A esta distancia la vamos a llamar error absoluto de la aproximación.

\varepsilon = \left| \alpha - \frac{p}{q}\right|

Gracias al error podemos medir cómo de buena es una aproximación, y concluir que la fracción 22/7 es mejor aproximación que 314/100 porque está más cerca del valor exacto de \pi. Su error es más pequeño. En un gráfico a color:

Pero, entonces, otra pregunta inocente se viene a la mente: ¿por qué preferimos la fracción 22/7 a la fracción 3141/1000, si esta última tiene un error más pequeño? Se podría contestar que la primera es una fracción más sencilla, que está formada por números más pequeños, y que esa sencillez es muy atractiva a los ojos de un matemático.

Aproximaciones con buena calidad

Una buena aproximación no es solo aquella que tiene un error pequeño, sino aquella que está expresada con una fracción sencilla. Por sencilla me refiero a que tenga un denominador lo más pequeño posible. Porque no es muy impresionante que la fracción 314159/100000 tenga un error pequeño, la verdad, como tampoco impresiona que 3/1 sea muy basta. Por eso, déjame darte un razonamiento geométrico para medir, de alguna manera, la calidad de una fracción.

Para empezar, vamos a dibujar sobre la recta numérica dónde están las fracciones que tienen como denominador un 7.

Y, ahora, dibujamos sobre la misma recta algunas fracciones que tienen denominador 34:

De todas las que hay dibujadas, las fracciones 22/7 y 107/34 son las que más cerca están del valor de \pi. Pero, como es natural, las fracciones de denominador 34 están más juntas entre sí, así que es menos impresionante que se aproximen al número que buscamos. ¡Dejan huecos más pequeños!

Cuando dibujamos todas las fracciones de denominador q sobre la recta numérica, todas estarán separadas entre sí por una distancia de 1/q. Por lo tanto, el error máximo que puedes cometer al aproximar un número es de la mitad de esa distancia, es decir, \varepsilon_{\text{máx}}=1/2q. Este es un caso límite, claro, en el que el número que queremos aproximar está justo entre dos fracciones del dibujo. Normalmente, el número original estará más cerca.

Una buena idea para tener en cuenta el tamaño del denominador en nuestros cálculos es considerar el error relativo de una aproximación. El error relativo \tilde\varepsilon se calcula dividiendo el error absoluto —el de la sección anterior, vaya— entre su máximo valor posible. O sea,

\tilde\varepsilon = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_\text{máx}}

Si copiamos y pegamos las expresiones que hemos visto en los últimos apartados, concluimos que el error relativo debe seguir una fórmula como esta:

\tilde\varepsilon =\cfrac{\left| \alpha-\frac{p}{q}\right|}{\frac{1}{2q}}=2\left|\alpha q-p \right|

La gracia de este error relativo es que funciona como un porcentaje. Un porcentaje que te dice si el error de tu aproximación es del 100%, horrible, o si tu aproximación es muy buena y el error está cerca del 0%. Si quieres estudiar las fracciones con un denominador determinado, llámalo q, siempre podrás encontrar una cuyo error relativo esté entre 0 y 1 (o, si lo prefieres, entre el 0% y el 100%).

Por ponerle números al asunto, he calculado los dos errores, absoluto y relativo, de algunas fracciones próximas a \pi. Estas son:

\begin{align*}
\cfrac{3}{1} &= 3 &~~~~~ \varepsilon &= 0.15 &~~~~~~ \tilde\varepsilon &=0.283\\ \\
\cfrac{22}{7} &= 3.142857... & \varepsilon &= 0.0012& \tilde\varepsilon &=0.017\\ \\
\cfrac{107}{34}&= 3.147058... & \varepsilon &= 0.0054 & \tilde\varepsilon &= 0.372\\ \\
\cfrac{314159}{100000} &= 3.14159 & \varepsilon &= 0.0000027& \tilde\varepsilon &=0.531
\end{align*}

El error relativo nos da una idea de cómo de buena es una fracción dentro de sus posibilidades (es decir, considerando el denominador que tiene). Nos da una idea de la calidad de la aproximación. Al ordenar las fracciones anteriores de mejor a peor, tenemos que (léase el “>” como mejor que):

\frac{22}{7} > \frac{3}{1} >\frac{107}{34} > \frac{314159}{100000}

La fracción de Arquímedes es la que más calidad ofrece.

Y aquí aparece una pregunta no tan inocente como las anteriores: ¿hay alguna fracción que sea mejor que 22/7? Al calcular con el ordenador el error relativo de las fracciones con denominadores hasta el 40, ¡veremos que no hay ninguna con un error relativo más pequeño!

El error relativo de las fracciones que tienen un denominador menor que 40.
He escrito el error relativo en escala logarítmica.

Las fracciones continuas

Sin más preámbulos: la mejor manera de aproximar un número real positivo con una fracción es utilizar una fracción continua simple. Una fracción continua es una especie de torre de fracciones anidadas con un aspecto llamativo. Algo de este estilo:

a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\cfrac{1}{a_4+\cfrac{1}{a_5+\cfrac{1}{\cdots}}}}}}

En este tipo de fracciones, los elementos a_n representan números naturales, y la cantidad de pisos del montaje puede ser finita o infinita.

Pues bien. Cualquier número real se puede convertir en una fracción continua siguiendo una receta repetitiva y sin mucho misterio. Como ejemplo, vamos a calcular la fracción continua del número \pi

Para escribir el número \pi en forma de fracción continua, empezamos separando la parte entera de sus decimales:

\pi = 3 + 0.141592...

Aquí pueden pasar dos cosas:

  • Si el número no tuviera decimales la receta acabaría aquí, no habría más que hacer.
  • Si el número tiene decimales, como en nuestro caso, estos se encontrarán entre cero y uno. Con ayuda de una calculadora podemos calcular su inverso:
\frac{1}{0.141592...} =7.062513 ...

Esto nos permite escribir el número \pi como:

\pi = 3+ 0.141592... = 3 + \cfrac{1}{7.062513...}

Como apunte, el inverso de los decimales de un número será siempre mayor que la unidad. Es decir, al hacer el cambio de los decimales por una fracción, el denominador será más grande que 1. En este caso es siete y pico.

Ahora, podemos volver al comienzo de la receta y repetir este procedimiento con el denominador de la nueva fracción: separar los decimales de la parte entera y, si estos decimales son distintos de cero, calcular su inverso.

\pi = 3 + \cfrac{1}{7+ 0.062513} = 3 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{15.9965...}}

Este proceso se puede repetir y repetir.

Si te soy sincero, hice la anicación de este proceso para un vídeo sobre las fracciones continuas, y creo que es más fácil resumir la receta en una versión acelerada y gráfica. La idea general es simple, pero el cálculo puede hacerse un poco aburrido.

La receta que he descrito antes puede acabar o no, según el número inicial. Puede que nunca dejes de calcular más y más pisos. En general, si el número inicial es racional, el proceso terminará y la fracción continua tendrá un número finito de pisos. Si, por el contrario, el número es irracional, este proceso no terminará nunca y la fracción tendrá infintos pisos. En particular, la fracción continua de \pi tiene infinitos pisos.

Convergentes y las mejores aproximaciones posibles

Como calcular un número infinito de pisos es una actividad poco agradecida para un ser mortal, lo mejor es detener el cálculo de la torre en algún momento. Esta es la idea de las convergentes, o fracciones parciales: escribir la fracción continua solo hasta un cierto piso.

3 + \frac{1}{7}, ~~~~~~~~~~3 + \frac{1}{7+\cfrac{1}{15}}, ~~~~~~~~~~3 + \frac{1}{7+\cfrac{1}{15+\cfrac{1}{1}}},~~~~~~~~~~3 + \frac{1}{7+\cfrac{1}{15+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{292}}}}.

Estas son las primeras convergentes del número \pi: las fracciones que solo consideran los primeros pisos de su fracción continua. Estas expresiones pueden parecer complicadas, pero un cálculo mecánico las simplifica a fracciones del montón (después de juntar denominadores, sumar elementos y esos divertimentos propios de los quebrados). En particular, las cuatro fracciones anteriores se pueden reducir a

\frac{22}{7}, ~~~~~~~~~~\frac{333}{106}, ~~~~~~~~~~\frac{355}{113}, ~~~~~~~~~~\frac{103993}{33102}.

Debería hacer un par de comentarios aquí. El primero es que las convergentes, una vez convertidas en una fracción normal, del estilo a/b, siempre están simplificadas. Y este matiz es importante. De aquí en adelante, consideramos que una convergente es la fracción simplificada que resulta de operar las torres anteriores. Es decir, 22/7 es una convergente, pero 44/14 no lo es, aunque ambas representen el mismo número racional.

En estas condiciones, puedo compartir el teorema fundamental de las fracciones continuas y las convergentes. En palabras inteligibles:

Las convergentes son las únicas fracciones que hacen disminuir el error relativo. Es decir, el error relativo de una fracción siempre es mayor que el de las convergentes más cercanas.

(Solo hay un par de excepciones a este teorema, ya las comentaremos.)

He calculado algunas fracciones que se aproximan a \pi, aquellas que tienen un denominador entre 1 y 200. He calculado el error relativo de cada una de ellas. Y al representar sus errores relativos, obtenemos algo así:

El error relativo está representado en escala logarítmica.

La fracción 3/1, la primera, tiene un error relativo de \tilde\varepsilon = 0.283. Esta es la primera fracción posible, un número sin decimales. Es como decir que \pi\approx3.

Según calculamos fracciones con un denominador más grande, la primera vez que el error relativo desciende es con 22/7. Esta es la primera convergente.

Al calcular fracciones con un denominador más grande que 7, todas tienen un error relativo mayor al de 22/7. Bueno, todas no: cuando llegas a 333/106, el error relativo se hace ligeramente más pequeño. O sea, ¡hemos encontrado una aproximación mejor! La fracción 333/106 es mejor que la aproximación de Arquímedes.

Según el gráfico, al llegar a la fracción 355/113, el error relativo vuelve a dar un bajón tremendo. De hecho, con esta fracción acertamos los seis primeros decimales de \pi:

\frac{355}{113} = 3.14159292... ~~~~~~~~~~~~\pi=3.14159265...

En resumen: las fracciones donde decrece el error son las convergentes del número \pi. Y esta afirmación funciona en los dos sentidos:

  • Si una fracción es convergente, entonces tendrá un error relativo menor al de cualquier fracción con un denominador más bajo.
  • Si una fracción hace disminuir el error relativo de todas las fracciones con un denominador más bajo, entonces esa fracción es una convergente.

Demostraciones y demás

Como no quería abrumar a nadie con la parte teórica de este tema, he dejado a un lado las demostraciones y definiciones adecuadas. Ea, quería dar una idea general, nada más.

Algunos aspectos a remarcar son bastante razonables. Por ejemplo: aunque he hablado solo de números positivos, también se pueden modificar los argumentos para aproximar números negativos con fracciones continuas. Cero discriminaciones a los números negativos.

Otros matices son ligeramente más complicados. Por ejemplo, la definición de convergente como “la fracción que resulta de cortar una fracción continua en un cierto piso” es demasiado general para propósitos académicos. Se puede sustituir por una definición recurrente, donde la convergente de orden n, la fracción p_n/q_n, sea

\left\{\begin{align*}
p_0&=a_0,~& q_0&=1, ~~~~~&\text{si }n=0;\\
p_1&=a_0a_1+1,~& q_1&=a_1,~~~~~&\text{si }n=1;\\
p_n&= p_{n-1}a_n + p_{n-2},~& q_n&=q_{n-1}a_n+q_{n-2},~~~~~&\text{si }n>2.
\end{align*}\right.

Esta definición es más conveniente a la hora de demostrar los teoremas de este artículo, y es prácticamente equivalente a la de “cortar la torre en el piso n“.

Por último, hay un par de casos en los que el teorema de las convergentes se debe matizar. Por ejemplo, el error relativo solo disminuye con las convergentes, pero es posible que otras fracciones no convergentes igualen la marca, sin hacerla descender.