Números corteses y escaleras

Un número cortés es un número natural que se puede escribir como la suma de dos o más enteros positivos consecutivos. También se denominan números en escalera. Por ejemplo, los números $21$ y $22$ son números corteses:

\begin{align*} 21 &= 10+11, \\[4pt] 22 &= 4+5+6+7. \end{align*}

Estos números plantean un reto divertido para el matemático aburrido. ¿Qué números son la suma de números consecutivos y cuáles no? ¿Qué números son corteses? Si no conoces este problema, te propongo tres preguntas para activar la mente:

¿Cuál es el único número entre diez y veinte que no es la suma de números consecutivos?
¿Cuantos números entre uno y diez son corteses?
¿Detectas algún patrón en las respuestas anteriores?

Algunos experimentos

Escribo cada número del uno al veinte como suma de números naturales consecutivos. Hay algunos donde no existe tal suma, y los anoto con una cruz.

\begin{align*} 1&= \times \\ 2 &= \times \\ 3 &= 1+2 \\ 4 &= \times \\ 5 &= 2+3 \\ 6 &= 1+2+3 \\ 7 &= 3+4 \\ 8 &= \times \\ 9 &= 4+5 \\ 10 &= 1+2+3+4 \end{align*}

\begin{align*} 11&= 5+6 \\ 12 &= 3+4+5 \\ 13 &= 6+7 \\ 14 &= 2+3+4+5 \\ 15 &= 1+2+3+4+5 \\ 16 &= \times \\ 17 &= 8+9 \\ 18 &= 5+6+7 \\ 19 &= 9+10 \\ 20 &= 2+3+4+5+6 \end{align*}

A simple vista parece que las potencias de dos, aquellos de la forma $2^n$ , son los únicos números que no pueden escribirse como la suma de varios números naturales consecutivos. Esta intuición resulta ser cierta, lo que conforma el teorema principal de los números corteses:

Teorema – Número cortés

Todos los números se pueden escribir como la suma de enteros positivos consecutivos salvo las potencias de dos.

¡Vamos a demostrarlo!

Los números que sí son corteses

Empezamos demostrando que los números que no son potencias de dos se pueden escribir como la suma de varios enteros positivos.

La idea es simple y aparece al estudiar los números impares. Un número impar son aquellos que tienen la forma $2n+1$ para algún valor de $n$ natural. Visto así, un número impar se puede reescribir como la suma de dos números consecutivos:

2n+1 = n + (n+1).

Es el caso del $19=9+10$ o del $21 = 10+11$ . La única excepción es el número uno, que no lo podemos escribir como $1=0+1$ , ya que el cero no cuenta como un sumando válido (todos los sumandos deben ser números estrictamente positivos). En general, los números impares salvo el uno se pueden escribir como suma de dos enteros consecutivos.

¿Y qué pasa con los números pares? Hay algunos casos sencillos. Los múltiplos de tres, aquellos números que tienen la forma $3n$ , se puede reescribir como

3n = (n-1)+n+(n+1).

Es decir, podemos dividir el número original en tres sumandos iguales y, después, restar y sumar $1$ a los términos de los extremos. De esta forma el resultado final no se altera, pero conseguimos reescribir la suma con tres números consecutivos. Es el caso de $18 = 5+6+7$ , por ejemplo.

Este razonamiento se aplica a números que se puedan dividir por un factor impar. Por ejemplo, si un número es divisible por cinco, se puede escribir como la suma de cinco números iguales. Al sumar y restar $1$ y $2$ a los números de los extremos, obtenemos una suma de cinco números consecutivos.

5n =(n-2)+(n-1)+n+(n+1)+(n+2).

Este es el caso de $20=2+3+4+5+6$ , por ejemplo.

En ocasiones el factor impar es muy grande y la suma incluye algunos términos negativos. Es el caso del $22$ , un múltiplo de once que debería escribirse como la suma de once números consecutivos. En efecto,

22 =(-3)+(-2)+(-1)+0+1+2+3+4+5+6+7.

Aunque algunos términos son negativos, se simplificarán con los positivos. De forma que la suma final solo contiene sumandos positivos: $22=4+5+6+7$ .

En resumen, cualquier número con un factor impar se puede escribir como la suma de enteros consecutivos.

Los números que no

Vale, ya sabemos que los números con un factor impar se pueden escribir como la suma de enteros consecutivos. ¿Y qué números no tienen factores impares? Aquellos cuya factorización solo contenga números pares. Como el único número primo par es el dos, los números que sean producto de doses no tendrán factores impares:

2, \quad 2\cdot 2,\quad 2\cdot 2\cdot 2,\quad 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2, \quad...

En estos casos, la estrategia de escribir una suma de términos iguales y compensar los de los extremos falla. ¡Pero ojo! Que falle esta estrategia no implica las potencias de dos no sean corteses, ya que podría existir otra estrategia que no hemos considerado. Debemos demostrar de forma directa que estos números no se pueden escribir como suma de enteros consecutivos.

Propongo la siguiente idea: la suma de enteros consecutivos nunca puede ser una potencia de dos. Para verlo, necesitamos una fórmula que indique cuanto vale la suma de enteros consecutivos. Si la suma comienza en el valor $a$ , tendrá un aspecto como este:

S= a + (a+1) + (a+2)+ \cdots \left(a+n\right).

Esta suma contiene $n+1$ sumandos. Podemos reescribirla como:

S= \underbrace{a+a+\cdots+a}_{n+1 \text{ veces}} + (1+2+\cdots+n).

La suma de los números naturales entre $1$ y $n$ tiene una fórmula conocida y permite escribir la expresión anterior como

S= (n+1)a + \frac{n(n+1)}{2}.

Sacando factores comunes y organizando términos concluimos que cualquier suma de enteros consecutivos es un número con esta forma:

S= \frac{(n+1) \cdot (2a+n)}{2}.

Comprobemos ahora que una potencia de dos nunca será el resultado de sustituir números en la fórmula anterior. Para ello, consideramos dos casos: cuando $n$ es un número par y cuando es impar.

Cuando $n$ es un número par, el término $n+1$ será un número impar. Por tanto, el resultado de la suma tendrá un factor impar. Es decir, será un número impar multiplicado por otro número. ¡El resultado no puede ser una potencia de dos!

S=\underbrace{(n+1)}_{\text{impar}} \cdot \left(\frac{2a+n}{2} \right).

Cuando $n$ es un número impar, el término $2a+n$ será un número impar. Esto sucede porque $2a$ siempre será par (sin importar el valor inicial de $a$ ) y, al sumarle un número impar $n$ , el resultado será un número impar. ¡El resultado tampoco puede ser una potencia de dos!

S=\frac{(n+1)}{2} \cdot \underbrace{\left(2a+n \right)}_{\text{impar}}.

Y con esto acabamos la demostración, ya que no hay más opciones: o bien $n$ es par o bien es impar. Y en ambos casos, la suma de números consecutivos siempre tendrá un factor impar. Nunca podrá ser una potencia de dos. Por tanto, ¡las potencias de dos son los únicos números descorteses!

Una fórmula para la cortesía

Este artículo es una introducción para el tema que realmente quería plantearte. Las potencias de dos son los únicos números descorteses, y podemos inventar una fórmula sencilla que los genere. Por ejemplo,

D(n) =2^{n-1}.

Lo que puede leerse como el $n$ -ésimo número descortés es el número $2^{n-1}$ . Según la expresión, el primer número descortés es el $2^{1-1}=1$ ; el segundo, el $2^{2-1}=2$ , y así sucesivamente.

Y aquí viene lo divertido. ¿Existe una fórmula para los números corteses? ¿Existe una fórmula que nos diga cuál es el $n$ -ésimo número cortés? Esto equivale a encontrar una expresión que nos devuelva los números que no son potencias de dos. Hay varias fórmulas para ello, y las analizaremos en el próximo artículo. Una de ellas es esta:

C(n) = n+1 + \Big\lfloor \log_2 \big(n + \log_2 (n+1) +1 \big) \Big\rfloor,

donde los símbolos $\lfloor \cdot \rfloor$ representan la función suelo (podemos decir que borra los decimales del número que contiene) y el símbolo $\log_2$ es el logaritmo en base dos. Al darle valores al parámetro $n$ , la fórmula genera todos los números naturales que no son potencias de dos. ¡Una pasada!