En 1902, el famoso creador de puzles Henry Dudeney encontró una manera de cortar un triángulo en cuatro trozos que, reordenados, podían formar un cuadrado. La sorpresa vino al descubrir que, si se colocaban bisagras en todas las piezas, la transformación seguía siendo válida, lo que conformaba un deleite notable para la vista. Había nacido una pequeña rama de la geometría, más lúdica que provechosa: las disecciones de Dudeney.

En poco tiempo, el mundo se llenó de disecciones de Dudeney entre distintas figuras: triángulos, cuadrados, pentágonos, cruces, estrellas y un largo etcétera. Todas ellas, con piezas unidas con bisagras. Finalmente, en 2007, un grupo de matemáticos del MIT propuso un método para convetir cualquier pareja de polígonos de la misma área con trozos encadenados entre sí, pero, como ya vimos en un vídeo, la disección resultante no era ni bonita, ni práctica. Eso sí, era general y universal.

¿Cómo se las apañaron, entonces, para crear transformaciones tan sencillas, al menos visualmente, en el pasado? Con una serie de métodos a cada cual más ingenioso. Uno de ellos, al que merece la pena dedicar unas palabras, es el método de las tiras.

El método de las tiras

El método las tiras permite construir disecciones de Dudeney entre figuras que sean lo suficientemente regulares. A modo de ejemplo, vamos a usarlo con un triángulo equilátero y un cuadrado.

El primer paso consiste en transformar las dos figuras involucradas, las dos con la misma superficie, en una tira infinita. El caso del triángulo y el cuadrado es especialmente sencillo:

En segundo lugar, observa la simetría de las tiras y busca los puntos de ancla. Un punto de ancla es un punto donde puedes girar toda la tira 180 grados y quedarte en la misma situación. Son puntos con simería de 180°:

Como condición adicional, los puntos de ancla solo pueden situarse sobre las juntas entre las figuras que conforman la tira. No pueden estar dentro de la figura, sino solo sobre sus aristas. En el caso que nos atañe, estos serían todos los puntos de ancla:

En tercer lugar, y último, superpones las tiras de manera que en la intersección entre ambas:

• Los puntos de ancla de una tira coincidan con los bordes la otra tira.
• Los puntos de ancla de una tira coincidan con los puntos de ancla de la otra tira.

Si no quedan puntos de ancla sueltos, la intersección resultante te dirá cómo tienes que cortar los trozos para obtener una disección de Dudeney. Es más, los puntos de ancla te indicarán dónde tienes que colocar las bisagras para conseguir tu disección.

En resumen, el resultado se queda como:

Figuras más complejas

Aunque el método de las tiras es prometedor, es fácil buscar sus puntos débiles: el primer y el último paso. En figuras algo complejas, construir una tira puede ser una pesadilla. No obstante, se pueden añadir bisagras adicionales que ayuden a conformar la tira. Por ejemplo, para el caso de un hexágono y una cruz, podemos partir las figuras por la mitad para facilitar el montaje.

El segundo paso es el más sencillo, buscar los puntos de simetría:

Y ya, por último, acabamos el montaje haciendo coincidir los puntos de ancla entre sí o con los bordes de la tira. En este caso,

El resultado final,

El método se pone chungo

Que los ejemplos que he elegido, a conciencia, no empañen la dificultad del método. Formar una tira con la figura inicial no siempre es fácil, por muchas bisagras adicionales que le puedas añadir. (Los valientes que lo intenten con un pentágono, si quieren emociones fuertes.) Además, pueden existir infinitas maneras distintas de formar una tira. Esto es fácil de visualizar: imagina un suelo lleno de baldosas hexagonales que ocupan todo el plano, similar al dibujo de un panal de abejas. Ahora, coloca una alfombra larga, del estilo alfombra roja, sobre ese suelo. Las baldosas que quedan debajo de la alfombra forma una tira de hexágonos, y su configuración depende de cómo se ha colocado la alfombra. Si hay infinitas maneras de colocar la alfombra, hay infinitas tiras distintas formadas por hexágonos.

¿Cómo saber si una tira concreta, de entre las infinitas que existen, tendrá éxito al aplicar el paso tres? Difícil. Por eso, los métodos de las tiras se han modificado a lo largo del tiempo, añadiendo condiciones o cambiándolas a conveniencia, para poder abarcar el mayor número de figuras posible. Al final se han girado las tornas: de modificar la figura para que encaje en el método a modificar el método para que encaje con la figura.

E. Demaine et al. – Hinged Dissections Exist. (2008)
Greg N. Frederickson. – Dissections Plane & Fancy. (1997)