Números cíclicos, una golosina matemática

El $142~857$ es un número bastante divertido: un número cíclico. Sus tablas de multiplicar guardan un patrón que las hace muy fáciles de recordar: repiten las mismas cifras que el número original pero cambiadas de orden. Es decir,

Tachán. Todos los resultados muestran las mismas cifras en el mismo orden: $1$ , $4$ , $2$ , $8$ , $5$ y $7$ . En cada ocasión la secuencia empieza por un dígito distinto, pero el orden siempre se mantiene. Por eso, el $142~857$ se denomina número cíclico.

142~857\cdot 1= 142~857,~~~~~~~~~142~857\cdot 4= 571~428,\\ 142~857\cdot 2= 285~714,~~~~~~~~~142~857\cdot 5= 714~285,\\ 142~857\cdot 3= 428~571,~~~~~~~~~142~857\cdot 6= 857~142.

También ocurre algo interesante al multiplicarlo por $7$ . Se rompe el patrón y aparece una ristra de nueves. Tal que así:

142~857\cdot 7 = 999~999.

Esta anomalía es la clave para entender el origen del $142~857$ , pues el $7$ rompe el ciclo de manera inesperada. No obstante, antes de meternos en camisa de once varas, cabe preguntarse qué ocurre al multiplicar el número cíclico por otros factores, como $8$ , $9$ , o números más grandes. ¿Se sigue manteniendo el ciclo? La respuesta es que sí, pero con algunas artimañas.

Otros productos del número cíclico

Digámoslo claro: nuestro número cíclico tiene seis cifras, y multiplicarlo por números más grandes que $8$ dará un resultado con más de seis cifras, así que no podrá conservarse el ciclo. Por ejemplo, si lo multiplicamos por $8$ obtendremos un resultado con siete cifras:

142~857\cdot 8= 1~142~856.

Cáspita. Pero con un poco de picaresca se puede recuperar el número cíclico. Para ello, separamos las seis cifras de la derecha y les sumamos las cifras extras de la izquierda. Es decir,

1 + 142~856 = 142~857.

Así recuperamos el número cíclico, sin habernos despeinado. Además, este método funciona con cantidades bastante más grandes. Mira, vamos a probar con el $12~345$ :

142~857\cdot 12~345 = 1~763~569~665\\ ~~~~\downarrow\\ 1~763 + 569~665 = 571~428.~~~~~~~~~~

Pues eso. Este método devuelve siempre uno de los elementos del ciclo original (o, en su defecto, una ristra de nueves). Y no es muy difícil predecir cuál de las secuencias se obtendrá. Todo depende del resto de dividir el factor por $7$ . Por ejemplo, el resto de dividir $12~345$ entre $7$ es $4$ . Por eso, la artimaña de separar el resultado en dos trozos y sumarlos devuelve la misma secuencia que multiplicar el número cíclico por $4$ .

El origen del dichoso número

Avanzamos en el tema. Antes habíamos comentado que el comportamiento del $142~857$ al multiplicarlo por $7$ es el equivalente matemático a colocar un letrero de neón diciendo que aquí hay una relación muy rara. Y sí, hay una relación. Resulta que el $142~857$ es el periodo de la fracción $1/7$ .

\frac{1}{7} = 0.\overline{142857}.

De hecho, todas las secuencias del ciclo están escondidas en las distintas fracciones del $7$ :

\frac{1}{7} = 0.\overline{142857},~~~~~~~~~~~\frac{4}{7} = 0.\overline{571428},\\~\\ \frac{2}{7} = 0.\overline{285714},~~~~~~~~~~~\frac{5}{7} = 0.\overline{714285},\\~\\ \frac{3}{7} = 0.\overline{428571},~~~~~~~~~~~\frac{6}{7} = 0.\overline{857142},\\~\\ \frac{7}{7} = 1 = 0.\overline{999999} .

Esta propiedad, en manos de un matemático hábil, puede desembocar en un resultado muy original.

Teoremilla. Elige un número primo $p$ y calcula su inverso, $1/p$ . Si el resultado tiene un periodo decimal de $p-1$ cifras, entonces ese periodo es un número cíclico. En ese caso, $p$ se denomina primo generador.

¡Esta es la llave! La esencia de los números cíclicos son los números primos. Podemos usar el teorema con varios primos distintos hasta encontrar más números cíclicos. Solo tenemos que calcular sus inversos con la calculadora y contar cuántos decimales tienen.

Con el $7$ , calculamos $1/7=0,\overline{142857}$ . Como tiene $6$ decimales, el $142~857$ es cíclico.

Con el $11$ , calculamos $1/11=0,\overline{09}$ . Como no tiene $10$ decimales, no es cíclico.

Con el $13$ , calculamos $1/13=0,\overline{076923}$ . Como no tiene $12$ decimales, no es cíclico.

Con el $17$ , calculamos $1/17=0,\overline{0588235294117647}$ . Como tiene $16$ decimales, el número $0~588~235~294~117~647$ es cíclico.

Pues así es. El segundo número cíclico que existe es el que viene de los decimales de $1/17$ . Es el segundo más grande que existe, con $16$ cifras.

\frac{1}{17} = 0.\overline{0588235294117647}

O, mejor, en forma de póster con colorines,

Otras curiosidades

Existen muchos números cíclicos. Los números primos menores de $30$ que generan ciclos son el $7$ , el $17$ , el $19$ , el $23$ y el $29$ . Y la lista sigue y sigue. El matemático William Shanks (famoso por calcular a mano 707 cifras decimales del número $\pi$ , aunque solo eran correctas las primeras 527) consiguió averiguar el número cíclico generado por $17~389$ . Con nada más y nada menos que $17~388$ cifras decimales. Toda una hazaña.

Si se conoce el primo generador el ciclo resultante es fácil de encontrar. Incluso hay una fórmula:

N_p =\frac{10^{p-1}-1}{p}

donde $p$ es el primo generador. Para el caso $p=7$ se obtiene nuestro conocido $142~857$ . Para $p=17$ , se obtiene la belleza de dieciséis cifras del póster de antes.

El problema es que no se sabe a ciencia cierta cuántos números primos generan números cíclico. Todavía se desconoce si hay infinitos números cíclicos o no. Se cree que sí, pero no hay nada demostrado. Hasta ahora, los cálculos por ordenador indican que en torno al $37,5\%$ de los números primos generan números cíclicos.

Tienen propiedades muy curiosas estos números cíclicos. En primer lugar, todo número cíclico que se multiplique por su primo generador acabará siendo una ristra de nueves.

0~588~235~294~117~647\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\times 17 \\ \overline{~9~999~999~999~999~999~}~

Además, si partes el número cíclico en dos mitades y las sumas, obtendrás una serie de nueves.

05882352 + 94117647 = 99999999

Esto, en realidad, es un caso particular del teorema de Midy. (En este artículo de ZetaSelberg se le hace un análisis increíble.)

Las formas de expresar los números cíclicos son inmensas. Una muy llamativa es tomar la sucesión que resulta de duplicar el $14$ sucesivamente: $14$ , $28$ , $56$ , $112$ … Si sumamos todos los términos, dejando dos cifras de margen para cada uno, el resultado es muy interesante:

14~~~~~~~~~~~~~~~\\ 28~~~~~\\ ~~~~56\\ ~~~~ ~+~~~~ ~~~~~~1~12~ \cdots~\\ \overline{~~~~~~14~28~57~ 14\cdots~~}

¡Se obtiene el $142~857$ repetido una y otra vez!

— A partir de la idea de Martin Gardner, en Mathematical Circus, que ya exploté en un vídeo. También puedes consultarlo en la ampliación del vídeo.