Todos los días usamos números, pero no siempre nos fijamos en los patrones que esconden. Algunos se pueden utilizar para hacer cálculo mental. Otros, para deleite de la vista y los sentidos. Lo que es seguro es que los números cíclicos y el teorema de Midy merecen una vitrina propia en el museo de la teoría de números.

Ya que has continuado la lectura hasta aquí, te cuento un poco más. El método para generar números cíclicos tiene un pequeño talón de Aquiles: puede decirse que las fracciones de 1/2 y 1/5 no generan números periódicos, lo que invalida el procedimiento en esos casos. Esto se debe a nuestra caprichosa forma de contar en base 10, ya que 10=2·5. Si contáramos en base 6, las fracciones de 1/2 y 1/3, correspondientes a los primos que dividen a 6, tampoco serían periódicas. ¿Se te ocurre alguna base donde todas las fracciones 1/p sean periódicas, o siempre hay alguna excepción?

Información adicional

Los números que al multiplicarlos por n mueven una cifra de un extremo a otro se denominan números n-parásitos. El 142~857 es un número 5 -parásito, porque al multiplicarlo por 5 mueve el siete de un extremo al otro: 714~285 . No siempre coinciden con los números cíclicos: el 128~205 es un número 4 -parásito, pues al multiplicarlo por 4 mueve una cifra de un extremo a otro, 512~820 , pero no es cíclico.

Para el reto del número 13, se le puede echar un ojo a sus primeras fracciones. Por simplicidad, escribo solo el periodo:

\frac{1}{13}=0.076923~~~~~~~~\frac{2}{13}=0.153846 \\~\\   \frac{3}{13}=0.230769~~~~~~~~\frac{4}{13}=0.307692 \\~\\ 
\frac{5}{13}=0.384615~~~~~~~~\frac{6}{13}=0.461538 \\~\\ 
\frac{7}{13}=0.538461~~~~~~~~\frac{8}{13}=0.615384 \\~\\
\frac{9}{13}=0.692307~~~~~~~~\frac{10}{13}=0.769230 \\~\\
\frac{11}{13}=0.846153~~~~~~~~\frac{12}{13}=0.923076   

El teorema nos decía que el 13 no es un número cíclico, y sus fracciones así lo confirman. Al ver los periodos de las fracciones del 1 , 3 , 4 , 9 , 10 y 12 observamos que se trata del mismo número cambiando las cifras de orden: el 076~923 . Por otro lado, las fracciones del 2 , 5 , 6 , 7 , 8 y 11 tienen como periodo el número 153~846 , cambiando las cifras en orden cíclico. Podríamos decir que el 13 es un número semicíclico, porque tiene dos periodos asociados:

076~923~~~~~~~~153~846 

Más multiplicaciones raras

Por otro lado, los números cíclicos no solo funcionan con factores pequeños. Para el caso del 142~857 , multiplicarlo por números mayores de 7 hace que aparezcan cifras extras a la izquierda. Por ejemplo, al multiplicarlo por 123 obtenemos:

142857\cdot 123 = 17~571~411

Pero si lo separamos en dos partes y las sumamos, volvemos al número cíclico:

17 + 571~411 = 571~428

Este comportamiento se mantiene según el resto del factor al dividirlo por 7. Por ejemplo, el resto que obtenemos al dividir 123 entre 7 es 4 . Por eso, el número que obtenemos al multiplicar el número cíclico por 123 es el mismo que obtenemos al multiplicarlo por 4 : el 571~428 .

Otro ejemplo: el resto de dividir 4949 entre 7 es 0 . Y si multiplicamos el número cíclico por 4949 , obtenemos:

142~857\cdot 4949 = 706~999~293

Repitiendo el proceso anterior:

706+999~293 = 999~999

¡Lo mismo que ocurría al multiplicarlo por 7!

Puedes obtener más información de los números cíclicos en este artículo que les dediqué.

Bibliografía

1. Número cíclico: http://mathworld.wolfram.com/CyclicNu…
2. Teorema de Midy: http://mathworld.wolfram.com/MidysThe…