Mascotas y diferencias de cuadrados

Hace unos días encontré un acertijo que inventé en los últimos años del instituto. Decía así:

Siempre quince

En mi grupo de amigos, cada uno tiene un número distinto de mascotas. Hoy nos hemos sentado por parejas, y he observado lo siguiente. En mi pareja, yo tenía $a$ mascotas y mi compañero tenía $b$ , y se cumplía que $a^2-b^2=15$ . He comentado esta propiedad numérica en voz alta. «Qué curioso», han dicho el resto de parejas, «si hacemos ese cálculo con nuestras mascotas, ¡llegamos al mismo resultado!».

¿Cuántos amigos tiene el grupo? ¿Cuántas mascotas tiene cada uno?

Creo que es un problema entretenido. Tiene lo que me gustaba en aquella época: un enunciado sin muchos datos numéricos y una pregunta ligeramente inesperada. Es previsible lo de cuántas mascotas, pero no tanto lo de cuántos amigos. ¡Dale una oportunidad al acertijo!

Solución

El grupo tiene cuatro amigos, con $1,4,7$ y $8$ mascotas. Se cumple:

\begin{array}{l} 8^2-7^2 = 15 \\ 4^2-1^2 = 15 \end{array}

Explicación

Tenemos que resolver la ecuación $a^2-b^2=15$ , con $a>b$ . Claramente, $a$ y $b$ son números naturales, porque no consideramos mascotas fraccionarias.

Reescribimos la diferencia de cuadrados como

\underbrace{(a-b)}_n\cdot\underbrace{(a+b)}_m=15.

Ahora todo se reduce a encontrar parejas de números que cumplan $n\times m = 15,$ y luego buscar los valores de $a$ y $b$ que sean compatibles con ellos, lo que equivale a resolver el sistema

\begin{array}{l} a-b = n ,\\ a+b = m . \end{array}

Como $n$ es la resta de $a$ y $b$ , y como $m$ es la suma, deducimos dos cosas: que $m$ y $n$ son números naturales y que $n$ debe ser menor que $m$ . Solo hay dos opciones: $1\times 15$ y $3\times 5$ .

En el caso $1\times 15$ , encontramos estos valores de $a$ y $b$ :

\left. \begin{array}{l} a-b = 1 \\ a+b = 15 \end{array} \right\}\rightarrow \begin{array}{l} a = 8 \\ b = 7 \end{array}

En el caso $3\times 5$ :

\left. \begin{array}{l} a-b = 3 \\ a+b = 5 \end{array} \right\}\rightarrow \begin{array}{l} a = 4 \\ b = 1 \end{array}

Estas son todas las soluciones posibles. No hay más números naturales cuyo producto sea 15. No hay más posibilidades para $a$ y $b$ . Además, podemos comprobar que nuestros valores cumplen las condiciones del enunciado:

\begin{array}{l} 8^2-7^2 = 15 \\ 4^2-1^2 = 15 \end{array}

En resumen, el grupo tiene un máximo de cuatro amigos, con $1,4,7$ y $8$ mascotas. Como yo estoy en una pareja y hay otra pareja que me contesta, deducimos que existen al menos dos parejas en el grupo. Por tanto, el grupo tiene cuatro personas exactamente.

Una solución general

El caso es que después de leer el acertijo, con la perspectiva que te dan algunos años más y algunas muelas menos, me he preguntado: oye, ¿qué solución tendría si cambiamos el 15 por otro número cualquiera? Es decir, ¿cuántas soluciones distintas tiene la ecuación

a^2-b^2 =N

cuando $a,b\in\mathbb{N}$ ? ¿De cuántas formas podemos escribir un número como resta de dos cuadrados perfectos? No es un problema muy complicado.

En primer lugar, si $N$ es una diferencia de cuadrados, también será el producto de dos factores, $a-b$ y $a+b$ . Llamémoslos $n$ y $m$ .

a^2-b^2=\underbrace{(a-b)}_n\cdot\underbrace{(a+b)}_m=N.

Una vez resuelta la ecuación $n\times m=N$ , podemos recuperar los valores de $a$ y $b$ invirtiendo el sistema:

\left. \begin{array}{l} a-b = n \\ a+b = m \end{array}\right\}~~~~\rightarrow~~~~ a =\frac{m+n}{2},~~ b = \frac{m-n}{2}.

Por ejemplo, el número $9$ se puede escribir como $1\times 9$ y como $3\times 3$ . En el primer caso, la fórmula nos devuelve los valores $(a,b)=(5,4)$ . En el segundo, $(a,b)=(3,0)$ . Por eso tenemos dos representaciones distintas:

9 =5^2-4^2=3^2-0^2

¿Cuántas maneras tenemos de escribir $N$ como diferencia de dos cuadrados? Depende de cuántas parejas de factores encontremos, y eso depende de cuántos divisores tenga $N$ . Como no quiero guardarme el resultado para el final, adelanto la solución: si $d(N)$ es el número de divisores de $N$ , el número de maneras para escribir $N$ como diferencia de dos cuadrados será:

\left\{ \begin{array}{cl} \left\lceil \dfrac{d(N)}{2}\right\rceil & \text{si }N\text{ es impar,} \\ \\\left\lceil \dfrac{d(N/4)}{2} \right\rceil & \text{si }N\text{ es múltiplo de }4,\\ \\ 0&\text{resto de casos,}\end{array} \right.

donde $\lceil x\rceil$ es la función techo: el primer entero que sea mayor o igual que $x$ .

¿Por qué diferenciamos estos casos? Por problemas de paridad con los factores. El número $6$ , por ejemplo, se puede escribir como $1\times 6$ . Al introducir estos factores en las fórmulas, obtenemos $a=3.5$ y $b=2.5$ . Aunque es cierto que $3.5^2-2.5^2=6$ , no son valores válidos: ¡no son naturales! Sería triste tener dos mascotas y media.

Como dicen las fórmulas de antes, para calcular $a$ empleamos la semisuma de los dos factores $m$ y $n$ . Para que $a$ sea entero, es necesario que $m$ y $n$ tengan la misma paridad: que sean los dos pares o los dos impares. Lo mismo se aplica al cálculo de $b$ . Y esto limita el número de soluciones.

Cuando $N$ es impar

Cuando $N$ es impar, todos sus divisores son impares. Todos tienen la misma paridad. Esto nos asegura que $a$ y $b$ siempre serán números naturales.

Por ejemplo, el número $N=45$ tiene seis divisores: $1,3,5,9,15$ y $45$ . Si queremos escribir el $45$ como producto de dos factores, tenemos seis posibilidades para hacerlo:

\begin{align*} 1&\times45, & 3&\times15, & 5&\times9,\\ 9&\times5, & 15&\times3 & 45&\times1. \end{align*}

Como la multiplicación es una operación conmutativa, todas las parejas aparecen repetidas en la lista. Solo la mitad de ellas son distintas cuando no importa el orden. En este caso, $1\times45$ , $3\times15$ y $5\times 9$ . Por eso, la cantidad de parejas distintas es la mitad de los divisores del número original.

Las parejas de antes proporcionan las tres maneras de escribir $45$ como diferencia de dos cuadrados perfectos. Y solo existen estas. Los valores de $a$ y $b$ asociados a estos factores son

45 = 23^2-22^2 = 9^2-6^2 = 7^2-2^2 .

No obstante, hay un detalle que tener en cuenta. Si $N$ es un cuadrado perfecto, tendrá un número impar de divisores. Por ejemplo, $25$ tiene tres divisores: $1, 5$ y $25$ . Hay tres posibles parejas:

1\times25,~~~~5\times5,~~~~25\times1

¿Cuántas son distintas? La mitad… y un poco más. No podemos tomar la mitad exacta, porque no es entera, y debemos recurrir a la función techo: el número de parejas distintas será el primer entero que se aproxime por arriba a la mitad. En este caso, $2$ formas distintas.

En resumen, habrá $\left\lceil\dfrac{d(N)}{2}\right\rceil$ diferencias de cuadrados distintas.

Cuando $N$ es par

Cuando $N$ es par pueden ocurrir dos cosas: que $N$ sea múltiplo de $4$ o que no lo sea. En este último caso, es imposible escribir $N$ como diferencia de dos cuadrados enteros. Veámoslo.

Si $N$ es par pero no es múltiplo de cuatro, al escribirlo como producto de dos factores, uno será par y el otro, impar. Por ejemplo, el $18$ tiene seis divisores: $1, 2, 3, 6, 9$ y $18$ . Estos producen tres parejas distintas: $1\times 18$ , $2\times9$ y $3\times 6$ . Como no tienen la misma paridad, darán lugar a valores de $a$ y $b$ fraccionarios:

18 = 9.5^2-8.5^2 = 5.5^2-3.5^2 = 4.5^2-1.5^2

Siempre hay un factor $2$ descompensado, y la pareja de factores nunca tendrán la misma paridad. Por lo tanto, $N$ no se puede escribir como diferencia de cuadrados naturales.

La situación es distinta si $N$ es múltiplo de cuatro. En ese caso, podremos escribir

N=2n\cdot 2m.

Es decir, podremos repartir los doses entre los dos factores del producto. Con esto nos aseguramos de que ambos factores sean pares y produzcan valores de $a$ y $b$ enteros. En realidad, esto es equivalente a escribir $N/4=n\times m$ , y las soluciones de esta ecuación dependen del número de divisores de $N/4$ .

Por ejemplo, el número $N=36$ es múltiplo de cuatro. Podemos buscar los divisores de $36/4$ , y estos son $1,3$ y $9$ . Si los multiplicamos por $2$ , hallamos todos los divisores con los que podemos formar parejas: $2,6$ y $18$ . Con ellos, obtenemos parejas de factores que tienen la misma paridad,

2\times18,~~~~6\times6, ~~~~ 18\times2.

La mitad de ellas (aproximando hacia arriba) son diferentes y dan lugar a las diferencias de cuadrados. Si recuperamos los valores de $a$ y $b$ , obtenemos

36=10^2-8^2=6^2-0^2

En el resto de parejas (como en $4\times 9$ , o el de $1\times 36$ ), los dos factores tendrán paridad distinta y no conducirán a una diferencia de cuadrados válida. Serán fraccionarios.

Por eso, si $N$ es múltiplo de cuatro, el resultado es $\left\lceil\dfrac{d(N/4)}{2}\right\rceil$ .

Por último: número de divisores

La representación de un número $N$ como diferencia de cuadrados depende de sus divisores. Según el caso, el número de representaciones distintas es

\left\{ \begin{array}{cl} \left\lceil \dfrac{d(N)}{2}\right\rceil & \text{si }N\text{ es impar,} \\ \\\left\lceil \dfrac{d(N/4)}{2} \right\rceil & \text{si }N\text{ es múltiplo de }4,\\ \\ 0&\text{resto de casos.}\end{array} \right.

Vale, pero ¿cuántos divisores tiene un número? Según el teorema fundamental de la aritmética, cualquier natural $N$ se puede escribir como producto de números primos de forma única:

N=p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdot p_3^{a_3} \cdots

El número de divisores de $N$ , lo que hemos llamado $d(N)$ , está relacionado con los exponentes de la expresión anterior. Un pequeño análisis combinatorio conduce hasta la fórmula

d(N)=(a_1+1)\cdot(a_2+1)\cdot(a_3+1)\cdots

O sea, que el número $1125$ , cuya factorización en primos es $3^2\cdot 5^3$ , tiene, según la fórmula, $d(1125)=(2+1)\cdot(3+1)=12$ divisores.

Esto cierra definitivamente el problema.

¿Y si las parejas del acertijo dijeran que sus mascotas cumplen $a^2-b^2=1000$ ? ¡Fácil! El número de representaciones de $1000$ , un múltiplo de cuatro, es $\lceil d(250)/2\rceil$ . Como el $250$ se descompone en $2\cdot 5^3$ , tendremos ocho divisores. O sea, que habrá cuatro representaciones distintas. Las calculo yo por ti:

\begin{align*} 251^2-249^2&=1000\\ 127^2-123^2&=1000\\ 55^2-45^2&=1000\\ 35^2-15^2&=1000 \end{align*}