Y divídete por tres: las proporciones de Galileo

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Corría el año 1615 cuando Galileo Galilei experimentaba con cuerpos en caída libre, movimientos pendulares y tiros parabólicos. Todos sus estudios estaban tan relacionados con los números impares que no tardó mucho en percatarse de la siguiente curiosidad matemática:

\frac{1}{3}~ = ~\frac{1+3}{5+7} ~= ~\frac{1+3+5}{7+9+11}~=~\frac{1+3+5+7}{9+11+13+15} ~= ~\cdots

No es apasionante, pero tiene su gracia. Desde entonces, y hasta donde tengo noticias, a este tipo de fracciones se las conoce como proporciones de Galileo. Por suerte, la relación entre los números impares, los cuadrados perfectos y este tipo de fracciones es tan gráfica que sería un delito no dedicarle unas imágenes. ¡Vamos al lío!

Sobre números impares y cuadrados

Empecemos por el principio. La relación entre los números impares y los cuadrados perfectos se conoce desde hace ya algunos siglos. Dice algo así: si sumas los primeros n números impares, el resultado será n^2. Por ejemplo, si sumas los cuatro primeros números impares, el resultado coincide con

1+3+5+7=16=4^2

Existen demostraciones muy variadas, pero la más gráfica es similar a la siguiente. Consiste en encajar los números impares en forma de cuadrados. Sencillo pero eficaz.

Esta relación tan maja es la que usó Galileo para descubrir sus proporciones. La demostración también se puede plantear de manera visual, colocando los números impares en forma de cuadrados. Para qué leerlo cuando puedes vivirlo:

Gracias a la forma del cuadrado, la suma del numerador siempre coincide con un cuarto de la figura, mientras que el denominador representa las tres partes restantes. La relación entre ambas es de 1 a 3, es decir, de 1/3. Tachán.

Este resultado se puede extender más allá de las fracciones del principio. Por decir un ejemplo, puedes poner en el denominador el doble de números que en el numerador. Tal que así,

\frac{1}{3+5} = \frac{1+3}{5+7+9+11} = \frac{1+3+5}{7+9+11+13+15+17}

¡Lo sorprendente es que las igualdades también se mantienen! No detallaré la demostración, pero el método es el mismo que en las anteriores. Seguro que la imagen siguiente puede servir de inspiración.