El mecanismo de Peaucellier-Lipkin

El siglo XIX fue el siglo de las máquinas y los inventos. Engranajes, cadenas, bielas y pistones para transportar el movimiento generado por un motor a cualquier otro sitio que quisieras mover. Y en este pisto industrial, los ingenieros se encontraron con un problema: es imprescindible saber cómo transformar un movimiento circular en un movimiento rectilíneo, de vaivén. Por suerte, en 1864, se ideó el mecanismo de Peaucellier-Lipkin, que conseguía resolver parte del problema.

Hasta ese momento, lo más habitual para convertir movimientos de rotación en rectilíneos (o viceversa) era el típico mecanismo de bielas y pistones dentro de cilindros, como el de la máquina de vapor. Y lo sigue siendo en la actualidad, la verdad. Lo malo es que el pistón puede generar fricciones y perder energía al rozarse con el cilindro, amén de otros problemas. Por eso era interesante encontrar un mecanismo que no usara guías o raíles, aunque fuera como divertimento matemático.

Fácil, sencillo y para toda la familia

El mecanismo de Peaucellier se puede construir con una serie de barras articuladas. La verde, de longitud $a$ ; las azules, de longitud $b$ ; y las rojas, de longitud $c$ . Las barras quedan fijas por dos puntos, marcados en negro, que permiten el giro. Estos puntos fijos están separados una distancia $a$ .

Al mover la barra verde un cierto ángulo, el punto más alejado del mecanismo describirá una línea recta. La demostración no es difícil, pero tampoco es tan divertida como para reproducirla aquí. Lo interesante es que no se necesita ningún raíl que dirija el movimiento, y todo queda en un plano sin ocupar mucho espacio (porque ya existían otros mecanismos, como el de Sarrus, que funcionaban en tres dimensiones).

Animaciones y ejercicios

En principio, el sistema solo tiene un grado de libertad: mover la barra verde un ángulo $\alpha$ hace que el resto del mecanismo se mueva a una posición única. Eso significa que todos los ángulos del sistema se pueden despejar en función de $\alpha$ . El más sencillo,

\beta=\frac{\alpha}{2} .

Con un poco de trigonometría, y mucha tarde por delante,

\theta=\arccos \left( \frac{b^2 – c^2 – 2a^2 (1+\cos\alpha)}{4\,ac\,\cos\beta}\right) .

Y, para acabar la fiesta,

\gamma=\arcsin \left( \frac{c}{b}\sin\theta\right) .

Las aplicaciones de estos ángulos tampoco son la panacea. No obstante, son los que he usado para crear la animación en After Effects, mediante expresiones de código. No es un problema difícil, pero puede ser interesante para aprender a programar animaciones.

También se pueden plantear ejercicios interesantes con estos ángulos. ¿Cuál es el ángulo máximo $\alpha$ que permite este mecanismo? ¿Cuál es la posición de la articulación que describe la línea recta, $(x(\alpha), y(\alpha))$ ? ¿Es $x(\alpha)$ realmente constante? ¿Es esto una forma de hacer que tus alumnos de primero de carrera te odien?