El ángulo de oro y las espirales vegetales
En 1992, un artículo del Journal of Theoretical Biology analizaba los patrones espirales de 650 especies vegetales. La conclusión fue sorprendente: en el 92 % de los casos, las plantas utilizaban el mismo ángulo para separar sus hojas o semillas. Este es el ángulo de oro, aproximadamente 137,5º.
1 – Fibonacci y los girasoles
Girasoles, suculentas, piñas y otras hierbas camineras suelen sorprendernos con dibujos geométricos de espirales entrecruzadas. Estos diseños muestran unos patrones matemáticos muy llamativos. Muchas veces el número de brazos espirales del mundo vegetal coinciden con términos de la sucesión de Fibonacci:
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
En estos casos, la separación entre las hojas, flores o frutos de la espiral es siempre la misma: aproximadamente 137,5º, lo que se conoce como ángulo de oro. La filotaxia (literalmente, disposición de hojas) nos sorprende en numerosas especies botánicas con estos patrones tan matemáticos.
¿Por qué es tan frecuente esta sucesión en la naturaleza? La teoría de números tiene una respuesta a esta pregunta. Esta idea la desarrollé en un vídeo de mi canal de YouTube, y en este artículo explico todo con un poco más de detalle.
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2 – Cómo crear una espiral
Una manera sencilla de simular la distribución de flores, hojas o semillas de un diseño espiral consiste en dibujar puntos en el plano. Para ello, lo habitual es seguir estas dos reglas:
Un par de comentarios sobre los ángulos. En primer lugar, mediremos los ángulos en sentido antihorario, en sentido contrario a las agujas del reloj. En segundo lugar, no utilizaremos los ángulos de toda la vida, sino que los mediremos como porciones de vuelta.
Medir un ángulo como una porción de vuelta es intuitivo. Un ángulo de 90º equivale a un cuarto de vuelta, o lo que es lo mismo, \alpha = 1/4 = 0.25. Un ángulo de 144º equivale a dos quintos de vuelta, o sea, \alpha = 2/5 = 0.4. Dicho de otra manera, un ángulo de 144º es como avanzar un 40 \% de vuelta, aproximadamente.
La forma de la espiral depende de qué ángulo uses para colocar los puntos. Aquí debajo hay un gráfico interactivo para que puedas ver qué aspecto tiene una espiral según cambia el ángulo \alpha. La posición inicial es la del ángulo de oro.
Como puedes comprobar, algunos ángulos crean espirales con unos brazos muy marcados, y otros hacen que los brazos estén más entrecruzados y sean menos evidentes. Además, da la sensación de que el ángulo de oro hace que los brazos desaparezcan, que estén visualmente muy escondidos. ¿A qué se debe todo esto?
3 – Ángulos racionales
Para estudiar las espirales a fondo, tenemos que añadir notación matemática. No te preocupes: si hay alguna fórmula que no entiendas, sáltatela. Algunas ideas se pueden asimilar sin recurrir a números y letras griegas.
Los puntos de una espiral como la descrita en el apartado anterior son aquellos que cumplen:
p_n = \left(x_n, y_n\right), \qquad
\begin{cases}
x_n= n\cos(2\pi\alpha \,n), \\
y_n= n\sin(2\pi\alpha \,n) ,
\end{cases}donde \alpha\in\mathbb{R} es el ángulo de separación entre los puntos, medido como una porción de vuelta. De esta manera, la distancia del punto p_n al centro de la espiral es n, y su ángulo es n\alpha, medido en vueltas. El punto p_0 siempre se sitúa en el centro del plano, en el (0,0).
¿Qué forma tiene la espiral para un \alpha particular? ¿Cuántos brazos tiene? ¿Cómo de entrecruzados están? Para responder no es necesario estudiar todos los valores posibles de \alpha, porque hay algunos que producen espirales repetidas. De hecho, al analizar los ángulos que están entre cero y media vuelta, habremos estudiado todas las espirales posibles.
¿Por qué entre cero y media vuelta?
Es fácil advertir que el patrón de una espiral solo depende de la parte decimal del ángulo \alpha. La parte entera se puede entender como una vuelta completa, lo que no modifica la posición de los puntos. Por ejemplo, un ángulo de dos vueltas y un cuarto coloca el siguiente punto en la misma posición que un cuarto de vuelta.
Esto limita nuestro a análisis a los ángulos \alpha que están entre cero y uno.
Los ángulos mayores de media vuelta se pueden intercambiar por un ángulo equivalente: el ángulo medido en sentido contrario, el ángulo opuesto. Para colocar un punto en la espiral, normalmente usamos un ángulo que se abre en sentido antihorario, como el marcado en rosa en la siguiente imagen. Sin embargo, también podemos pensar que el punto surge de usar un ángulo en sentido horario, como marca el ángulo azul. Ambos ángulos colocan el punto en la misma posición, así que podemos pensar en los ángulos mayores de media vuelta como un ángulo que se extiende en sentido contrario. Un ángulo que será menor que media vuelta.
En resumen, una espiral formada por un ángulo mayor de media vuelta se puede construir con un ángulo menor que media vuelta, dibujando los puntos en sentido contrario, en sentido horario. El número de brazos y su disposición serán los mismos que los que genera un ángulo que esté entre cero y media vuelta, pero colocados en sentido horario.
Un ejemplo sencillo
Vamos a construir una espiral con un ángulo sencillo como \alpha = 3/7. Si sabes programar, lo puedes hacer con ayuda de la sección de códigos. También se puede hacer a mano:
Toma una vuelta, divídela en siete partes iguales y toma tres de ellas. Este será el ángulo que separará un punto del siguiente.
A la hora de colocar los puntos, todos caerán en alguna de las siete divisiones de la vuelta. Por tanto, todos los puntos quedarán alineados en alguno de los siete brazos rectos.
Al añadir muchos puntos, y vista desde lejos, la espiral mostrará siete brazos rectos. Y hay dos propiedades interesantes aquí:
Estas propiedades son ciertas para cualquier ángulo en forma de fracción, \alpha=a/b, siempre que la fracción esté simplificada.
¿Por qué se repite el patrón?
Supongamos que el ángulo de la espiral es \alpha=a/b. Si un punto p_n cae en un brazo, el punto p_{n+b} caerá en el mismo brazo.
Para verlo, primero advertimos que el ángulo del punto p_n será de n \frac{a}{b} vueltas. Por otro lado, el ángulo del punto p_{n+b} será de (n+b) \frac{a}{b} vueltas.
Si calculamos la diferencia entre ángulos comprobaremos que:
(n+b)\,\frac{a}{b} - n\,\frac{a}{b}= a .La diferencia entre ángulos es de a vueltas, un número entero de vueltas. Como añadir o quitar vueltas enteras no modifica la posición angular de los puntos, concluimos que los dos puntos, p_n y p_{n+b}, están en la misma división de la vuelta, en el mismo brazo.
Por último, es interesante comprobar que los puntos
p_{b}, \, p_{2b},\,p_{3b},\, ...siempre se sitúan en el eje X del plano, en la parte positiva del eje.
¿Por qué se llenan todos los brazos?
Como hemos visto en la propiedad anterior, la posición angular de los puntos repite cada b puntos. Es decir, que los puntos n y n+b se encontrarán en el mismo brazo. Por cuestiones geométricas, el punto p_0 está en el centro del dibujo y pertenece a todos los brazos.
Para comprobar que todos los brazos se llenan de puntos, basta comprobar que los primeros puntos se sitúan en brazos distintos. Es decir, que los puntos
p_1,\, p_2,\, p_3, \,...,\, p_{b}aparecen en brazos distintos, y no hay dos que se encuentren en el mismo brazo.
Para demostrarlo, estudiemos que ocurriría si fuera falso. Habría dos puntos distintos, p_i y p_j, con 1 \leq i<j \leq b, que coincidirían en el mismo brazo. Esto quiere decir que la diferencia angular entre los dos puntos es un número entero de vueltas:
j\,\frac{a}{b}-i\,\frac{a}{b} = k\in\mathbb{Z}Si manipulamos la expresión anterior podemos deducir que (j-i)\frac{a}{b} es un número entero. Como la fracción a/b está simplificada, la única manera de que ese resultado sea un número entero es que j-i sea un múltiplo de b.
j-i= \begin{cases}
0, \\
b,\\
2b,\\
...
\end{cases}Como i<j \leq b, el único múltiplo posible es j-i=0. En ese caso, i=j y los dos puntos p_i y p_j serían el mismo punto. Esto es una contradicción, ya que suponíamos que i y j eran números distintos. Esta contradicción indica que es imposible que existan dos puntos en el mismo brazo, porque eso conduciría a un sinsentido. En resumen, no pueden existir dos puntos, p_i y p_j, con i<j \leq b, que coincidan en el mismo brazo.
En conclusión, los primeros puntos de la espiral están en brazos distintos, y no hay dos que se sitúen en el mismo.
El teorema de los ángulos racionales
Las propiedades anteriores se cumplen para cualquier ángulo en forma de fracción, \alpha=a/b, siempre que la fracción esté simplificada. Así podemos deducir el primer resultado interesante de la noche:
Teorema 3.1.
Si creamos una espiral con un ángulo en forma de fracción irreducible, \alpha = a/b, los puntos se distribuirán dibujando b brazos rectos.
¡Este resultado no depende del numerador de la fracción!
He colocado los puntos centrales más separados para analizarlos mejor.
En este caso, el punto p_n está a distancia \sqrt{n} del centro.
Una observación. Los puntos alineados en brazos rectos siguen una progresión aritmética: un punto se consigue sumando b al anterior. Así, los brazos espirales estarán formados por puntos de la forma
p_n, ~p_{n+b}, ~p_{n+2b}, ~p_{n+3b}, ~p_{n+4b}, ~\cdots En el ejemplo anterior, con b=10, uno de los brazos es el de los puntos 6, 16, 26, 36, etc. Cada punto del brazo se consigue sumando diez al anterior.
Otra observación interesante. En el centro de la figura anterior, los puntos se agrupan en tres brazos curvos. Uno de ellos, el de los puntos 1, 4, 7, 10. Otro, el de los puntos 2, 5, 8, 11. Otro, el de los puntos 3, 6, 9, 12. En las siguientes secciones explicaremos por qué aparecen estos tres brazos curvos, y por qué solo son visibles en la zona central del dibujo. De momento, observa que también siguen una progresión aritmética: cada punto se consigue sumando tres al anterior.
Por último, otra observación. En esta imagen he usado una distancia distinta a la que mencioné al principio del artículo. Lo normal es pintar el punto p_n a distancia n del origen, pero en el resto del artículo voy a dibujar cada punto a distancia \sqrt{n}. Esto no afecta al número de brazos de la imagen, pero dibuja los puntos centrales más alejados entre sí, lo que facilita el trabajo para identificar detalles en la zona central del dibujo.
Hablando de plantas…
¿Es adecuado un ángulo en forma de fracción para distribuir las hojas o las semillas de una planta? En general, no. A la hora de distribuir las hojas, los brazos rectos harán que todas se queden alineadas y se creen sombra unas a otras. Y en lo que respecta a las semillas, los brazos rectos dejan regiones del plano sin cubrir, lo que desaprovecha el espacio y deja espacios que facilitan la entrada de agua, insectos y otros agentes perjudiciales para las semillas.
Esto no quita que veamos ángulos racionales en distintas especies del mundo vegetal. Los estudios de filotaxia muestran que algunos árboles, como el olmo y el tilo americano, presentan las hojas de una rama en lados alternadamente opuestos, lo que corresponde a un ángulo de \alpha = 1/2. Otros, como el avellano y la haya, distribuyen las hojas con una torcedura de \alpha = 1/3. El roble y el albaricoquero exhiben \alpha = 2/5. Estos grandes árboles no corren el riesgo de sombrear unas hojas con otras, debido al tamaño o la forma de las ramas. Más ejemplos se pueden consultar en Coxeter 1970.
< Fundamentos de Geometría. Coxeter (1970)
4 – Ángulos irracionales, más complicados
Por suerte, no todos los números que conocemos son racionales. En la recta numérica existe una clase de números, denominados irracionales, que no se pueden escribir en forma de fracción. En otras palabras, un número irracional \alpha no se puede escribir de la forma a/b con a,b\in\mathbb{Z}.
Utilizar estos números como ángulo es una ventaja indiscutible para las plantas. Puesto que no se pueden escribir en forma de fracción, los puntos no se distribuirán en brazos rectos. De hecho, se puede demostrar que no hay ninguna dirección radial que se repita: en la línea que une el punto p_0 con un punto cualquiera, solo encontraremos esos dos puntos. Ningún punto volverá a caer en esa recta. Pueden pasar cerca, pero no coincidirán.
¿Por qué no se repiten direcciones?
Imagina que existen dos puntos, p_i y p_j, con 0<i<j, que se sitúan en la misma dirección radial; es decir, que en la misma recta que une p_0 y p_i también se encuentra el punto p_j. Esto equivale a decir que la parte angular de los dos puntos se diferencia en un número entero de vueltas.
Las partes angulares de p_i y p_j serán i\alpha y j\alpha, respectivamente, y la diferencia debe ser un número entero de vueltas:
j\alpha-i\alpha = k\in\mathbb{Z} .Si manipulamos la expresión anterior podemos deducir que
\alpha = \frac{k}{j-i} .Esto es una contradicción: si el número \alpha es irracional, entonces no se podría escribir como una fracción de números enteros. Por tanto, es imposible que dos puntos se sitúen en la misma dirección.
¿Qué es un brazo?
En lo que sigue del artículo hablaremos de brazos espirales y agrupaciones de puntos. Aunque tengamos una idea intuitiva de qué es un brazo, prefiero mencionar la definición ahora. Un brazo es una colección de puntos que sigue una progresión artimética. Es decir, es el conjunto de puntos
p_n, ~~p_{n+b}, ~~p_{n+2b}, ~~p_{n+3b}, ~~p_{n+4b}, ~~...para algunos n,b\in \mathbb{N}.
Los brazos que vimos en la sección anterior cumplen esta definición, y es un buen punto de partida para el caso irracional. Solo hay un detalle que matizar: nosotros estamos interesados en brazos visualmente evidentes, de los que se ven a simple vista. También hay brazos que no se ven a simple vista, porque parecen puntos elegidos sin ton ni son.
En esta espiral he marcado los puntos del brazo que empieza en 3 y cada punto se consigue sumando 13 al punto anterior. Esto conduce a la sucesión 3, 16, 29, 42, 55, 68, etc., que forma un brazo recto visible a simple vista (imagen de la izquierda). Por otro lado, he marcado los puntos que comienzan en 5 y se generan sumando 5 al punto anterior. Esto da lugar a la sucesión 5, 10, 15, 20, etc., que forma un brazo que no se ve a simple vista (imagen de la derecha). Si no hubiera remarcado estos puntos, no lo habríamos interpretado como un brazo. Parecen puntos sueltos.
Nuestro objetivo en esta sección es encontrar brazos visualmente evidentes. ¡Vamos allá!
Un ejemplo numérico
Vamos a trabajar con un ejemplo concreto. He construido la espiral de abajo usando el ángulo irracional
\alpha \,= \,1- 3\log_{10} 2 \,\approx\, 0.0969.He separado los puntos centrales para que se vean con claridad. Como esperábamos, no se forman brazos rectos en la espiral, porque es un ángulo irracional.
Ángulo \alpha = 0.0969...
¡Pero ojo, sí que observamos brazos curvos! Los puntos centrales (0,1,2,3,4, ...) parecen seguir un brazo que se curva en sentido antihorario. Y los puntos exteriores parece que forman diez brazos curvados en sentido horario. Uno de ellos es el formado por los puntos 10, 20, 30, 40, .... ¿A qué se debe esto?
Una explicación es numérica. Como el ángulo \alpha está bastante próximo a 1/10, es razonable que muestre un comportamiento parecido al de la fracción: agrupar los puntos en diez brazos.
Aunque este razonamiento tiene sentido, tenemos que ser un poco más rigurosos. ¿Qué significa que \alpha y una fracción se parecen o están próximos?
1- 3\log_{10} 2 \,\approx\, 0.0969
\displaystyle\frac{1}{10} \,\approx\, 0.1000
La distancia angular entre puntos
Como hemos visto en el caso racional, cuando al ángulo entre puntos es \alpha = a/b, el patrón de llenado se repite cada b puntos. En particular, los puntos b, 2b, 3b, etc. siempre se quedan alineados en la misma recta. En el ejemplo anterior, con un ángulo irracional, ocurre algo similar: cuando b=10, los puntos 10, 20, 30, etc. se quedan alineados en un brazo curvo.
¿Por qué vemos un brazo curvo con estos números? La explicación es que el punto 10 está muy próximo al 20 angularmente, es decir, tienen ángulos próximos entre sí en el dibujo. Si medimos qué distancia angular hay entre el punto 10 y sus vecinos más próximos, veremos que el más cercano es el 20. Es decir, el punto con el ángulo más cercano es el 20. He aquí una ampliación de la espiral anterior para comprobarlo visualmente:
< En realidad hay puntos todavía más cercanos angularmente (es decir, con un ángulo más próximo que el del punto 20), pero de momento finjamos que no existen.
Lo mismo ocurre con el punto20: los puntos más cercanos angularmente son el 10 y 30. Por eso nos da la sensación de que estos puntos están visualmente relacionados y que siguen una línea que se va curvando poco a poco: no hay puntos a su derecha o su izquierda que estén más cerca (angularmente) que el 10 y el 30.
< De nuevo, esto no es cierto. Sí hay puntos con ángulos más cercanos, pero tenemos que dibujar más puntos para verlos…
Podríamos decir que los puntos angularmente cercanos se agrupan visualmente en un brazo curvo. Y también funciona a la inversa: los puntos angularmente lejanos no se agrupan visualmente en un brazo curvo. Ahora solo tenemos que estudiar cómo se mide la distancia angular para poder clasificar los brazos.
El punto p_n y el punto p_{n+b} estarán en el mismo brazo si la distancia angular entre ellos es más pequeña que con otros puntos vecinos. Dicho de otra manera, si la diferencia angular entre ellos está cerca de un número entero de vueltas:
\alpha (n+b) - \alpha n \approx a,
donde a es un número entero. Al simplificar la expresión, podemos reescribirla como
\alpha b-a \approx 0,
y esta cantidad de aquí es lo que vamos a llamar separación angular d. El parámetro d representa el ángulo que separa los puntos p_n y p_{n+b}. En la imagen del margen está representado. Si le añadimos un valor absoluto, para trabajar con ángulos positivos, concluimos que la distancia angular entre dos puntos se puede escribir como
|d| = |\alpha b -a| .
No entiendo la fórmula…
Pues pongamos números: digamos que el ángulo que separa los puntos es \alpha = 0.41, algo más de 2/5 de vuelta. Los puntos se distribuyen de esta manera:
Parece que se agrupan en cinco brazos curvos. Como ya hemos visto, cada punto de un brazo se consigue sumando b=5 al anterior.
¿Cuál es el ángulo que hay entre dos puntos del mismo brazo, como 17 y 22? El ángulo del primero, medido en vueltas, es de 17\alpha, y el del segundo es de 22\alpha. Si sustituimos valores: el primero tiene un ángulo de 6.97 vueltas, y el segundo, de 9.02. El ángulo entre ellos será la resta:
9.02-6.97=2.05\text{ vueltas.}No obstante, no es cómodo decir que el ángulo entre ellos es 2.05 vueltas. Como añadir o quitar vueltas completas no modifica la posición de los puntos sobre el dibujo, es mejor obviar la parte entera y decir que la separación angular es de 0.05 vueltas.
En otras palabras, la separación angular entre los puntos p_{17} y p_{22} se calcula restando los ángulos de ambos. Si escribimos 22 como 17+5, la diferencia entre los dos ángulos es de
(17+5)\alpha - 17\alpha = 5\alpha .
En este caso, 5\alpha = 2.05 es un número cercano a dos, un número entero, lo que nos indica que los dos puntos están angularmente próximos. Como la posición de los puntos no se altera si sumamos o restamos un número entero de vueltas, cualquiera de estas expresiones representa la separación angular entre estos dos puntos:
d = \left\{
\begin{align*}
&5\alpha &\approx 2,\\
&5\alpha-1 &\approx 1,\\
&5\alpha -2&\approx 0, \\
&~~~~~ ...
\end{align*}
\right.La tercera forma de escribirlo, d=5\alpha-2, es la fórmula que hemos visto antes. Es la manera que tenemos de escribir la distancia como un ángulo próximo a cero. La forma más cómoda de hacerlo.
En general, si le ponemos letras al asunto, la diferencia angular entre dos puntos del mismo brazo p_n y p_{n+b} será
\alpha (n+b) - \alpha n = b\alpha .
A esta cantidad podemos restarle un número entero de vueltas hasta que el resultado esté lo más próximo a cero posible. Si llamamos a a ese número de vueltas, obtenemos
d = \alpha b -a .
Podemos añadir un valor absoluto a la expresión anterior aparece para considerar casos en los que, al restar un número entero de vueltas, el resultado se acerca a cero de forma negativa. Así se convierte en algo positivo de forma automática y no nos tenemos que preocupar por el signo.
|d| = |\alpha b -a |.
Cuanto menor sea esta separación angular, más pegados estarán los puntos p_n y p_{n+b}, y nos dará la sensación de que se agrupan en un mismo brazo curvo. Por tanto, el problema de averiguar cuántos brazos se observan en una espiral con un ángulo \alpha es equivalente a encontrar qué números a, b\in \mathbb{N} hacen que la distancia angular |\alpha b- a| sea lo más pequeña posible.
Esto encaja con nuestra primera intuición. Si la distancia angular es próxima a cero, d\approx 0, podemos deducir que \alpha \approx a/b, lo que confirma nuestras suposiciones: los brazos que genera el ángulo \alpha se parecen a los que generaría la fracción a/b.
¡Perfecto! Si nos dan un ángulo \alpha cualquiera… ¿cómo averiguamos qué valores de a y b hacen que |\alpha b - a| sea lo más pequeño posible? ¡La respuesta está en las fracciones continuas!
5 – Fracciones continuas
Cualquier número real \alpha\in \mathbb{R} puede desarrollarse en una fracción continua, finita o infinita, de la forma
\alpha \,=\, c_0 + \cfrac{1}{c_1 + \cfrac{1}{c_2 + \cfrac{1}{c_3 + \cfrac{1}{\cdots}}}} donde los coeficientes c_n son números naturales. Si el número \alpha es irracional, la torre de fracciones tendrá infinitos pisos. Así, en nuestro ejemplo de antes, tendríamos
\alpha\, =\,1- 3\log_{10} 2 \, = \, \cfrac{1}{10 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{2+ \cfrac{1}{\cdots}}}}} .Cuando truncas o cortas la fracción continua en un determinado piso, obtienes lo que se denomina fracción convergente o congruente. Para el ejemplo anterior tenemos:
f_1= \cfrac{1}{10}, \qquad\quad f_2 = \cfrac{1}{10 + \cfrac{1}{3}} = \frac{3}{31},\qquad\quad f_3 = \cfrac{1}{10 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{7}}} = \frac{22}{227}.Según la teoría de números, las convergentes son las mejores aproximaciones racionales de un número. Esto lo comenté en un artículo hace tiempo, pero puede generar confusión: mejores no siempre significa más cercanas, sino que optimizan alguna propiedad útil para los académicos. De hecho, las convergentes hacen que la distancia angular entre puntos, |\alpha b - a|, sea lo más pequeña posible, comparadas con otras fracciones.
Visualmente es más sencillo de entender. En este gráfico he calculado la distancia angular que producen las fracciones más cercanas a \alpha =1- 3\log_{10} 2, con denominadores que van entre 1 y 250.
< He calculado la distancia (en el gráfico lo llamo error) que hay entre el número \alpha y la fracción a/b. Lo he calculado para las fracciones más cercanas a \alpha, con denominador entre 0 y 250.
Observamos que la distancia angular solo se hace más pequeña cuando elegimos una fracción convergente.
Las fracciones convergentes son las únicas que hacen descender la distancia angular. ¿Buscas una fracción que aproxime el número \alpha = 1- 3\log_{10} 2 mejor que la de 3/31? No vas a encontrar ninguna mejor, aunque hagas el denominador más grande, hasta que llegues a 22/227.
Las convergentes son las únicas fracciones que hacen disminuir la distancia angular entre puntos vecinos. Esto provoca que veamos brazos espirales. En nuestro ejemplo, las convergentes nos indican que el ángulo \alpha se puede aproximar por las fracciones
\alpha = 1-3\log_{10} 2 \,\approx\, \frac{1}{10},\, \frac{3}{31}, \, \frac{22}{227}, \,\cdotsPor eso, al añadir puntos en la espiral, vemos zonas donde aparecen 10 brazos (uno de ellos formado por los puntos 10, 20, 30, 40, etc.), 31 brazos (uno de ellos con los puntos 31, 62, 93, 124, etc.) o 227 brazos (pero para verlos hay que añadir muchos más puntos, no se aprecian en esta imagen).
En realidad, todos los puntos pertenecen a todos los brazos. Por ejemplo, el punto 65 de la figura anterior. Si sumamos o restamos 10 a 65, obtenemos la secuencia:
S_{10} \equiv 5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, ...Estos puntos forman uno de los 10 brazos centrales (¡compruébalo en la imagen!). Ahora, si sumamos o restamos 31 a 65, obtenemos la secuencia:
S_{31} \equiv3, 34, 65, 96, 127, 158, ...Estos puntos forman uno de los 31 brazos exteriores (¡compruébalo en la imagen!). En otras palabras: el punto 65 pertenece a los brazos interiores y a los exteriores. Y también pertenece a la familia de 227 brazos que predice la fracción continua, pero hay muy pocos puntos en la imagen anterior para poderlos observar. Te animo a explorarlos en la sección de códigos, si sabes programar.
La idea es potente: ¡Los denominadores de las convergentes nos indican cuántos brazos tendrá la espiral!
Brazos que no se ven
Antes hemos dicho que el punto 65 pertenecía a uno de los brazos interiores (que había diez) y a uno de los brazos exteriores (que había treintaiuno). ¿Cómo sabemos que no pertenece a una familia de doce brazos, por ejemplo? Bueno… ¡es que también pertenece! Siguiendo el razonamiento de antes, si sumamos y restamos 12 a 65, encontramos la secuencia:
S_{12} \equiv 17, 29, 41, 53, 65, 77, 89, 101Si marcamos estos puntos en la imagen de antes observamos que forma un brazo (hay que ponerle bastante inaginación, claro). Lo adjunto en la imagen de abajo.
Todos los puntos de la espiral se distribuyen en doce brazos similares al anterior. ¿Por qué no los vemos a simple vista? Los puntos de este brazo tienen una separación angular muy grande. Esto provoca que aparezcan muchos puntos intermedios entre ellos. Por ejemplo, entre el punto 5 y el 17 está el punto 6, que no pertenece al brazo. A la hora de seguir con la mirada la trayectoria de los puntos, nuestra mente interpreta que el punto 5 está en un brazo que sigue hacia el 6, 7, 8, etc., y no hacia el 17, que es un punto bastante lejano. La aparición de puntos intermedios, como el 6, evita que se pueda seguir con la mirada un brazo con b=12.
A nivel numérico, decimos que 12 no es el denominador de una convergente. Visualmente, los puntos cercanos angularmente a 65 son los de las secuencias S_{10} o S_{31}, no los de la secuencia S_{12}, que están bastante más lejos. Nuestros ojos no identifican que los puntos de S_{12} pertenecen al mismo brazo porque el ángulo que los separa es muy grande.
6 – La relación entre fracciones continuas y espirales (cosas técnicas)
< Todas las demostraciones de esta sección provienen de Fascinating Fractions, de N. M. Beskin. Usé la traducción inglesa de 1986.
Déjame resumir qué hemos visto hasta ahora. El número de brazos que observamos en una espiral depende del ángulo \alpha que separa los puntos. Al calcular la fracción continua y las convergentes del número \alpha, estas nos indicarán cuántos brazos aparecen en el dibujo. Estos brazos aparecen porque las fracciones convergentes indican qué puntos están angularmente cerca, y visualmente da la sensación de que algunos se alinean siguiendo un brazo recto o curvo.
En realidad, todo lo anterior eran ejemplos numéricos para justificar las ideas principales. En esta sección mostraremos (y demostraremos) que las espirales de puntos y las fracciones continuas están relacionadas como hemos descrito en la sección anterior. Aviso que esta sección es bastante técnica. Primero, necesitamos alguas propiedades de las fracciones continuas y las convergentes.
Cortar una fracción continua por el piso nº da lugar a la fracción convergente a_n/b_n cuando simplificas los cálculos. No obstante, en el mundo académico las convergentes se calculan mediante una relación de recurrencia que escondo en el siguiente recuadro.
Demostración de la recurrencia
Las convergentes asociadas a una fracción continua se calculan truncando o cortando la torre de fracciones por un determinado piso. En realidad, hay una manera más cómoda de calcularlas: mediante recurrencias. El numerador y el denominador de la n-ésima convergente, a_n/b_n, cumplen
\def\arraystretch{1.5}
\left\{
\begin{array}{l}
a_n = c_n a_{n-1} + a_{n-2}, \\
b_n = c_n b_{n-1} + b_{n-2}.
\end{array}
\right.donde los números c_n son los coeficientes de la fracción continua y se toman como valores iniciales (a_0, b_0) = (c_0, 1) y (a_{-1}, b_{-1}) = (1, 0). Aunque los valores (a_{-1}, b_{-1}) no tienen sentido físico, simplifican bastante el cálculo.
Para demostrarlo, procedemos por inducción. En el caso de n=1, es fácil comprobar que las fórmulas son ciertas:
\frac{a_1}{b_1} = c_0+\frac{1}{c_1} \qquad\to\qquad \frac{a_1}{b_1} = \frac{c_0 c_1 + 1}{c_1}Las expresiones de a_1 y b_1 encajan con las de la relación de recurrencia.
Ahora supongamos que la recurrencia es cierta para todo k<n, es decir, que las fórmulas son válidas para cualquier fracción continua con n-1 pisos o menos. Para una fracción con n pisos, la convergente a_n/b_n satisface:
\frac{a_n}{b_n} \,=\, c_0+\cfrac{1}{c_1+\cfrac{1}{\cdots+\cfrac{1}{c_{n-1}+\cfrac{1}{c_n}}}} .Aunque en el futuro consideramos que los coeficientes c_k son naturales, no hemos impuesto esa restricción en ningún momento. Podríamos reducir un piso de la fracción anterior si consideramos el último piso como parte del coeficiente del piso superior. Es decir, decimos que c'_{n-1}= c_{n-1}+\frac{1}{c_n}, de manera que la fracción ahora tiene n-1 pisos:
\frac{a_n}{b_n} \,=\, c_0+\cfrac{1}{c_1+\cfrac{1}{\cdots+\cfrac{1}{c'_{n-1}}}} .En esta situación, por hipótesis de inducción, podemos utilizar las fórmulas de recurrencia. Como la torre de fracciones tiene n-1 pisos, la podemos sustituir por una convergente a'_{n-1}/b'_{n-1} que satisface
\def\arraystretch{2}
\left\{
\begin{array}{l}
a'_{n-1} = c'_{n-1} a_{n-2} + a_{n-3} \,=\, \left(c_{n-1}+\frac{1}{c_n}\right) a_{n-2}+a_{n-3} \\
b'_{n-1} = c'_{n-1} b_{n-2} + b_{n-3} \,=\, \left(c_{n-1}+\frac{1}{c_n}\right) b_{n-2}+b_{n-3}
\end{array}
\right.
Por tanto, la fracción a_n/b_n se puede escribir como:
\def\arraystretch{3}
\begin{aligned}
\frac{a_n}{b_n} &= \frac{a'_{n-1}}{b'_{n-1}} = \frac{\left(c_{n-1}+\frac{1}{c_n}\right) a_{n-2}+a_{n-3}}{\left(c_{n-1}+\frac{1}{c_n}\right) b_{n-2}+b_{n-3}} \\
&= \frac{c_{n-1} c_{n} a_{n-2} + a_{n-2}+ c_n a_{n-3}}{c_{n-1} c_{n} b_{n-2} + b_{n-2}+ c_n b_{n-3}} \\
&= \frac{c_n (c_{n-1} a_{n-2} +a_{n-3}) + a_{n-2}}{c_n (c_{n-1} b_{n-2} +b_{n-3}) + b_{n-2}} \\
&= \frac{c_n a_{n-1} + a_{n-2}}{c_n b_{n-1} + b_{n-2}} .
\end{aligned}Existen otras versiones de la demostración que no utilizan un coeficiente c_{n-1} fraccionario, pero no me gustan tanto.
Esta relación de recurrencia es muy útil en las demostraciones de esta sección. Pero que no cunda el pánico: el proceso de cortar la fracción continua por un piso y simplificar la expresión conduce a la mismo resultado, así que puedes elegir cualquiera de los dos métodos.
Horario y antihorario
Las convergentes a_n/b_n siempre se aproximan al número original \alpha de forma alternada: las fracciones de los pisos pares se aproximan siempre por debajo, y las impares siempre por encima, formando una sucesión de la forma:
\frac{a_0}{b_0} < \frac{a_2}{b_2} < \frac{a_4}{b_4}<\cdots\leq\alpha\leq \cdots <\frac{a_5}{b_5} < \frac{a_3}{b_3} < \frac{a_1}{b_1} .Demostración
En general, la diferencia entre dos convergentes consecutivas cumple
\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}} -\frac{a_n}{b_n} = \frac{(-1)^n}{b_n b_{n+1}}Además, se cumple que a_{n+1}b_n – a_n b_{n+1}= (-1)^n. Esto implica que las convergentes se aproximan a \alpha alternadamente, por encima y por debajo.
Para demostrarlo simplificamos la expresión:
\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}} -\frac{a_n}{b_n} \,=\, \frac{a_{n+1}b_n - a_n b_{n+1}}{a_n b_{n+1}} .El numerador de la última fracción, D_n = a_{n+1}b_n – a_n b_{n+1}, se simplifica mediante las relaciones de recurrencia:
\def\arraystretch{1.5}
\begin{aligned}
D_n &= a_{n+1}b_n - a_n b_{n+1} \\
&= (c_{n+1}a_n+a_{n-1}) b_n - a_n(c_{n+1} b_n + b_{n-1})\\
&= - ( a_n b_{n-1}- a_{n-1} b_n)\\
&= -D_{n-1}
\end{aligned}Se cumple una relación de recurrencia como esta:
D_n = -D_{n-1} = D_{n-2} = \cdots = (-1)^n D_0 ,donde D_0 = a_1 b_0 – a_0 b_1 = c_1 c_0 + 1 – c_0c_1 = 1. Por tanto, D_n=(-1)^n y la diferencia de dos convergentes consecutivas se queda como
\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}} -\frac{a_n}{b_n} \,=\, \frac{(-1)^n}{b_n b_{n+1}} .A nivel visual, esto implica que las distintas familias de brazos se curvan en sentido horario y antihorario de forma alternada. Piénsalo: la diferencia angular de dos puntos del mismo brazo era d=\alpha b -a. Para una convergente par, de las que cumplen que a_n/b_n \leq \alpha, es fácil comprobar que d es positivo. Esto indica que los puntos del brazo espiral se separan entre sí por un ángulo positivo, es decir, en sentido antihorario. Para una convergente impar, con a_n/b_n \leq \alpha, ocurre que d es negativo, lo que indica que los puntos del brazo espiral se separan entre sí por un ángulo negativo, es decir, en sentido horario.
Por tanto, las familias sucesivas de brazos que observamos en las espirales se alternan entre sí en sentidos opuestos. Horario, antihorario, horario, antihorario.
< No quiero usar las notas al margen para banalidades. ¡Pero qué pasada!
Siempre simplificadas
Otra propiedad interesante: las convergentes (el resultado de usar la recurrencia o de cortar la fracción continua por un punto) siempre están simplificadas, siempre están en su forma reducida. Esto puede ser útil: nos asegura que si usamos una convergente a_n/b_n, entonces se verán b_n brazos en el diseño, porque la fracción está simplificada.
Demostración
Supongamos que a_n/b_n no está simplificada. En ese caso, existirían números naturales a', b' y k>1 tales que a_n = k\cdot a' y b_n = k\cdot b'.
Si sustituimos los valores en la expresión de D_n = a_{n+1}b_n – a_n b_{n+1}, concluimos que
D_n = k\left(a_{n+1}b' - a' b_{n+1}\right) = (-1)^nEsta igualdad es contradictoria. El lado izquierdo es un entero que se puede dividir por k>1. El lado derecho solo se puede dividir por \pm 1. Por tanto, la fracción a_n/b_n debe estar simplificada.
El teorema de las convergentes
Por último, lo más importante: demostrar que solo se ven los brazos que indican las fracciones convergentes, y no los de cualquier otra fracción. Este es el resultado más complicado, y es una joya de la teoría de números.
Como hemos justificado, los puntos se agruparán en brazos cuando la distancia angular con los vecinos del brazo sea menor que con el resto de puntos de los alrededores. Dicho de otra manera, dos puntos están en el mismo brazo, y ese brazo es visible, cuando se minimiza la distancia |\alpha b -a|, para algunos a,b\in\mathbb{N}. En ese caso, se apreciarán b brazos sobre el dibujo.
Como hemos dicho, la distancia angular se minimiza con las fracciones convergentes. Es decir: las fracciones convergentes a_n/b_n reducen la separación angular al máximo y aglutinan los puntos en familias de b_n brazos. A nivel numérico, esto lo confirma el siguiente teorema:
Teorema 6.1.
Si a_n/b_n es una convergente y a/b es una fracción reducida cualquiera con b< b_{n+1}, entonces |b_n \alpha - a_n| \leq |b\alpha - a|.
En otras palabras: elige dos convergentes consecutivas, a_n/b_n y a_{n+1}/b_{n+1} y haz una lista de todas las fracciones que tengan denominadores entre 0 y b_{n+1} (ambos excluidos). Ninguna de esas fracciones genera una distancia angular más pequeña que la de la convergente a_{n}/b_{n}.
Traducido al mundo de las espirales: ninguna división de los puntos en b brazos hará que los vecinos de un brazo estén tan próximos entre sí (angularmente) como la división en b_n brazos, según indica la fracción convergente. Por ejemplo, en la espiral de antes, cuando \alpha = 1- 3\log_{10} 2, veíamos familias con diez brazos y con treintaiuno, pero no con doce. Esto se debe a que doce no es el denominador de una convergente y, según el teorema, los puntos se agrupan visualmente en familias de diez brazos, porque sus ángulos están menos separados.
Demostración
Antes de empezar: suponemos que a/b es una fraccion diferente de a_n/b_n, y convenimos que es irreducible. Para demostrar el teorema distinguimos dos casos:
Caso 1, cuando b<b_{n+1} y b\neq b_n. Escribimos a y b como combinación lineal de a_n, b_n, a_{n+1} y b_{n+1} de esta manera:
\left\{
\begin{array}{l}
b = x \,b_{n} + y\, b_{n+1},\\
a = x \,a_{n} + y\, a_{n+1}.
\end{array}
\right.
El determinante del sistema es
\begin{vmatrix} b_n & b_{n+1} \\ a_n & a_{n+1} \end{vmatrix} = b_n a_{n+1} - a_n b_{n+1} = D_n = (-1)^{n} .Como el determinante es no nulo, el sistema tendrá solución única. Además, puesto que el determinante es \pm 1, la solución del sistema serán números enteros.
Se cumple que x e y son distintos de cero. Si lo fueran, llegaríamos a alguna contradicción:
- Si x=0, como todas las fracciones están reducidas, se cumpliría que y=1. Entonces tendríamos que b=b_{n+1}, lo que contradice las hipótesis de este caso.
- Si y=0, se cumpliría que x=1. Entonces tendríamos que b=b_{n}, lo que también es contradictorio.
Además, x e y no pueden ser del mismo signo. Si los dos fueran positivos, se cumpliría que b>b_{n+1}. Si los dos fueran negativos, entonces b sería negativo.
Restamos las dos ecuaciones del sistema, multiplicando la primera por \alpha:
\left\{
\begin{array}{l}
b = x \,b_{n} + y\, b_{n+1},\\
a = x \,a_{n} + y\, a_{n+1}.
\end{array}
\right.
\quad\to\quad
(b_n \alpha - a_n) x + (b_{n+1} \alpha - a_{n+1})y = b\alpha-a .Como las convergentes se aproximan al número \alphade forma alternada, deducimos que las cantidades b_n\alpha – a_n y b_{n+1}\alpha – a_{n+1} tienen diferente signo. El primer término es positivo y el otro es no negativo. Como x e y también tienen signos distintos, se cumple que
\left|(b_n \alpha - a_n)\right| \cdot |x| + \left|b_{n+1} \alpha - a_{n+1} \right| \cdot |y| = \left|b\alpha-a \right|.Se deduce que \left|b_{n} \alpha – a_{n+1} \right| < \left|b\alpha-a \right|.
Caso 2, cuando b=b_n. Primero demostraremos que
\left| \alpha - \frac{a_n}{b_n}\right|\leq \left|\alpha-\frac{a}{b_{n}}\right| .cuando a\neq a_n. Para ello, suponemos que a_n/b_n está a la izquierda de \alpha (es análogo si está a la derecha). En ese caso, tenemos que demostrar que
\frac{a_n+1}{b_n}-\alpha\leq \alpha-\frac{a_n}{b_{n}} .Esto ocurre cuando:
\frac{1}{2b_n}\leq \alpha-\frac{a_n}{b_{n}} .Por otro lado, sabemos que:
\frac{1}{b_nb_{n+1}}\geq \alpha-\frac{a_n}{b_{n}} .Si juntamos las dos condiciones simultáneamente:
\frac{1}{2b_n}\leq \alpha-\frac{a_n}{b_{n}} \leq\frac{1}{b_n b_{n+1}} .Y, por tanto, solo se cumple cuando b_{n+1}\leq 2. Esto solo puede suceder si n=0 o n=1. Para n\geq 2 siempre se cumple que:
\left| \alpha - \frac{a_n}{b_n}\right|\leq \left|\alpha-\frac{a}{b_{n}}\right| .Multiplicamos cada lado por b_n:
\left| \alpha b_n - a_n\right|\leq \left|\alpha b_n -a\right|.
Que es lo que queríamos demostrar, porque b=b_n.
Ahora estudiamos el teorema inverso. Hemos visto que las fracciones convergentes disminuyen la distancia angular entre puntos. Ahora queremos ver que son las únicas fracciones que consiguen disminuirla.
Teorema 6.2.
Si |\alpha b - a | es menor que |\alpha b' - a'| para cualquier b'\leq b, entonces a/b es una convergente de \alpha.
Cuando demostremos esto, habremos demostrado que los brazos visibles en las espirales están completamente determinados por las fracciones convergentes.
Demostración
Suponemos que a/b es una fraccion irreducible.
Si \alpha es racional, \alpha = a_{n+1}/b_{n+1}, entonces no podrá ser que b>b_{n+1}, ya que para la fracción a_{n+1}/b_{n+1} el error es nulo, mientras que la condición del enunciado apunta que debe ser mayor que |b\alpha -a|.
Supongamos que a/b no es una fracción convergente. En este caso, su denominador estará entre dos fracciones convergentes.
b_n < b < b_{n+1} .El teorema directo nos dice que se debe cumplir que
|\alpha b_n - a_n| < |\alpha b -a|.
Esto contradice las hipótesis de este teorema, luego debe ser cierto que a/b es una convergente.
7 – El mejor ángulo para una planta
Vale. Acabamos de demostrar que el diseño de brazos espirales depende únicamente de las convergentes del ángulo \alpha, pues minimizan la separación angular entre puntos del mismo brazo. Ahora queremos estudiar cómo afecta el número de brazos al diseño final de la espiral.
No todos los ángulos son iguales. Algunos producen brazos muy marcados, evidentes, y otros generan un patrón más sutil, donde los brazos se entrelazan de forma suave y delicada.
La de la derecha, más sutiles, más entremezclados.
Es lógico pensar que una planta preferirá aquellos patrones en los que los brazos estén más entremezclados, superpuestos. Cuando los brazos son muy evidentes se generan zonas vacías en las que puede entrar agua y pudrir las semillas, el lateral de las pipas es accesible a insectos indeseados o, simplemente, se malgasta el espacio para distribuir los granos. Lo mismo ocurre con la distribución de las hojas: brazos muy marcados alinean unas hojas sobre otras y se generan sombras que perjudican la captación solar. Cuando los brazos están más entrelazados, el espacio se distribuye mejor y se minimizan estos problemas.
¿De qué depende que un ángulo \alpha genere brazos más o menos marcados? Depende de los coeficientes de la fracción continua.
< Hablaremos de «mejor ángulo para una planta» desde el punto de vista teórico. Aunque los argumentos que voy a dar sean razonables, es posible que no expliquen verdaderamente lo que pasa en el mundo real. Puede que las plantas usen un ángulo u otro por motivos ajenos a nuestra comprensión. Las plantas no tienen intenciones o motivaciones conocidas, salvo aquellas que nosotros, humanos pensantes, queramos proyectarles.
< El ángulo de esta espiral genera brazos muy marcados. Estos brazos tienen un cambio muy brusco: en muy poco espacio, los brazos interiores se tumban, se ponen en horizontal, y de ellos emergen los brazos exteriores. Esta transición es muy rápida.
Considera dos familias de brazos consecutivas, como las representadas en la imagen de arriba. Una familia gira en sentido horario y otra, en antihorario. La familia interior tiene menos brazos que la familia exterior, y ambas se entrelazan en una región intermedia. Los brazos están muy marcados y la región intermedia es bastante estrecha.
El entrelazamiento ocurre de manera que de cada brazo de la familia interior emergen cinco brazos de la familia exterior, aproximadamente. Esto se puede observar en la imagen del margen. Primero, convenimos que los brazos interiores, los pintados en azul, se extienden hasta el punto 55 (podríamos elegir cualquier otro). Es decir, todos los puntos menores o iguales a 55 se pueden clasificar visualmente en un brazo azul sin problemas. En ese caso, según el dibujo, uno de los brazos interiores acaba en el punto 54, y otro en el punto 55.
Entre el punto 55 y el 54 ha quedado al descubierto una porción de brazo azul del que brotan cinco brazos rosas, de la familia exterior. Estos brazos están equiespaciados —por cuestiones de simetría—, emergen de forma perpendicular y empiezan a curvarse poco a poco en sentido antihorario. Para que esos cinco brazos tengan espacio y puedan brotar sin amontonarse, hay que esperar a que el brazo azul esté bastante curvado, a que esté en una posición parecida a una circunferencia.
En resumen: para que puedan brotar cinco brazos rosas de un solo brazo azul hay que añadir una buena cantidad de puntos a la espiral, hasta que el brazo azul esté bastante curvado. Esto provoca que las dos zonas (brazos interiores y exteriores) estén muy diferenciadas. Hasta que los brazos interiores no se han tumbado, los brazos exteriores no comienzan a apreciarse.
En esta imagen ocurre lo contrario. Las dos familias de brazos están tan entrelazadas que cuesta distinguirlas. La zona de transición, en la que los brazos interiores dan paso a los brazos exteriores, es más amplia, y el cambio entre regiones es más relajado. En este caso, de cada brazo de la familia interior emergen dos o tres brazos de la familia exterior.
Esto se puede observar en la imagen del margen. Primero, convenimos que los brazos interiores, los pintados en azul, se extienden hasta el punto 90 (podríamos elegir cualquier otro). Es decir, todos los puntos menores o iguales a 90 se pueden clasificar visualmente en un brazo azul sin problemas. En ese caso, según el dibujo, una pareja de brazos azules consecutivos acaban en los puntos 83 y 90. Otra pareja, en los puntos 81 y 86.
Entre el punto 83 y el 90 ha quedado al descubierto una porción de brazo azul del que brotan tres brazos rosas, de la familia exterior. Entre el punto 81 y el 86 hay una porción de brazo azul del que brotan dos brazos rosas. En este caso, los brazos azules no deben estar tan curvados para que los dos/tres brazos rosas puedan emerger. Necesitan menos espacio que los del ejemplo de antes.
En consecuencia, los brazos de esta espiral están más entrelazados y cuesta más detectarlos visualmente. No hay que esperar a que los brazos interiores se tumben por completo para ver los exteriores. Esto confieren un aspecto más homogéneo a la espiral.
Podemos cuantificar el entrelazamiento entre familias de brazos usando una medida como la que acabamos de describir. ¿Cuántos brazos de la familia exterior emergen por cada brazo de la familia interior? Cuando menor sea esa cantidad, más entrelazadas estarán las familias de brazos; más costará distinguirlos, y más homogénea será la espiral de puntos. Para muestra, los dos ejemplos anteriores.
Casualmente, la cantidad de brazos de la familia exterior que emergen de cada brazo interior está muy relacionada con los coeficientes de la fracción continua. De hecho, el coeficiente c_n de la fracción continua nos indica cuantos brazos emergen por cada brazo de la familia anterior, aproximadamente.
Demostración
Empezaré con un ejemplo y luego le daré generalidad. Considera la espiral generada por \alpha=265/316 vueltas. Las primeras convergentes son:
\frac{a_0}{b_0} = \frac{1}{1}, \qquad \frac{a_1}{b_1} = \frac{5}{6}, \qquad \frac{a_2}{b_2} = \frac{26}{31}. Dibujamos la espiral, marcando en azul la familia con 6 brazos y en rosa la de 31. Pintamos los brazos azules hasta el punto 71, aunque podríamos elegir cualquier otro punto que actúe de frontera.
Queremos contar cuántos brazos rosas nacen de cada brazo azul. Para ello, elegimos el punto 40, que pertenecerá a uno de los 31 brazos rosas. De hecho, el siguiente punto del brazo rosa estará 31 unidades más adelante, es decir, el punto 71.
El punto 40 también pertenece a un brazo azul, y los puntos que lo conforman se consiguen sumando 6 al punto inicial: serán los puntos 46, 52, 58, 64 y 70. El siguiente punto sería el 76, pero hemos considerado que solo pintamos de azul hasta el punto 70. Por eso no lo incluimos en la lista.
Estos cinco puntos corresponden a brazos rosas que emergen del brazo azul. En este caso hay cinco brazos rosas: los que pasan por los puntos 46, 52, 58, 64 y 70. Por cuestiones de simetría, podemos decir que todos los brazos azules generan cinco brazos rosas, aproximadamente. Este aproximadamente indica que algunas veces puede aparecer un brazo de más, según los números particulares que consideremos. Fíjate en la espiral anterior: de 6 brazos pasan a 31. No todos los brazos interiores generan 5 brazos exteriores. ¡Alguno genera un brazo más que sus compañeros!
Generalizamos. Consideramos dos familias de brazos consecutivas, con b_k y b_{k-1} brazos como indican los denominadores de las convergentes. Elegimos un punto n de la espiral. Por este punto pasan un brazo de la familia exterior y de la familia interior.
El siguiente punto del brazo exterior estará en la posición n+b_k. Los siguientes puntos del brazo interior estarán en los puntos n+b_{k-1}, n+2b_{k-1}, …, n+x b_{k-1}. Tenemos que considerar puntos mientras el índice de los puntos no sobrepase n+b_k. Si lo sobrepasan, pertenecerán al siguiente brazo azul. El último punto del brazo debe cumplir
n+x b_{k-1} < n + b_k \qquad\to\qquad x b_{k-1} < b_kSegún las reglas de recurrencia, b_k = c_k b_{k-1}+b_{k-2}. Consideramos que c_k>1. Puesto que b_{k-2}<b_{k-1}, el valor más grande que puede tomar x es c_k. Esto implica que de cada brazo interior nacen c_k brazos exteriores, los que pasan por los puntos
n+b_{k-1},~~ n+2b_{k-1}, ~~ n+3b_{k-1}, ~~..., ~~ n+c_kb_{k-1}.Dicho de otra manera, por cada brazo interior encontraremos c_k brazos exteriores, aproximadamente.
¿Qué ocurre cuando c_{k} es igual a uno? En ese caso, los puntos de nacimiento se reducen al máximo. Técnicamente, de cada punto de un brazo brota otro brazo, o quizá dos, según los números concretos con los que trabajemos. Esto genera el patrón entrelazado tan característico de la espiral áurea.
Como el entrelazamiento depende de los coeficientes de la fracción continua, cuanto más pequeños sean estos, más entrelazados estarán los brazos de puntos. Más homogénea será la espiral. Mejor distribuido estará el espacio. En conclusión, la espiral más entrelazada es aquella que tiene como ángulo una fracción continua llena de unos, los coeficientes más pequeños que puede haber.
\alpha = \cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cdots}}}}El ángulo con la espiral más entrelazada.
El número de oro
La fracción continua con todos los coeficientes iguales a uno es lo que los matemáticos llaman número áureo, número de oro o divina proporción. Es una de las constantes más divulgadas en matemáticas, y se suele relacionar con la belleza y el arte (muchas veces, de forma errónea). Se representa mediante la letra \varphi y su expresión más famosa es
\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1.618033988...La fracción continua del número áureo es aquella que tiene todos los coeficiente iguales a uno. El mejor ángulo para crear una espiral entrelazada es el número áureo.
Demostración
Este es un argumento informal. Podemos llamar x al número que representa la fracción continua:
x \,=\,1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{\cdots}}}} .Podemos advertir que el denominador de la fracción principal tiene la misma forma que la x original: una fracción con infinitos pisos llenos de unos:
x \,=\,1+\cfrac{1}{\underbrace{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{\cdots}}}}_x} \,=\, 1+\frac{1}{x} .Por tanto, el número x debe satisfacer la ecuación x=1+\frac{1}{x}. Si simplificamos la expresión, esta se transforma en
x^2-x-1=0 .
Con la fórmula general para la ecuación de segundo grado, encontramos dos posibles soluciones:
x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2} .Una solución es negativa, la otra es positiva. Puesto que la fracción continua original solo tiene términos positivos, el único valor aceptable es la solución positiva. Por tanto,
x=\frac{1+\sqrt{5}}{2} .
Este es el ángulo con los brazos espirales más entrelazados. Si lo traducimos a grados, el ángulo del número áureo es de 222.49º, aproximadamente, lo que se conoce como ángulo de oro o ángulo áureo. Puesto que estamos interesados en ángulos de menos de media vuelta, es más habitual verlo escrito como 137.51º. Cualquiera de los dos produce el patrón que, según el artículo del Journal of Theoretical Biology, mostraba el 92 % de las plantas estudiadas.
En rosa, el ángulo 222.49º, mayor de media vuelta. En azul, el 137.51º. Ambos producen el mismo patrón de puntos, pero es más cómodo usar el segundo ángulo.
< Roger V. Jean – Model Testing in Phyllotaxis (1992)
Este ángulo no solo genera las espirales más entrelazadas que exiten. Según algunos estudios, también distribuye el espacio de la manera más equilibrada posible, tiene propiedades de autosimilitud que recuerdan a los fractales, y reduce la entropía de la distribución de semillas. En conclusión: hay muchos motivos para coronarlo como el mejor ángulo posible.
La sucesión de Fibonacci
El ángulo de oro da lugar a una sucesión de brazos bastante conocida: la sucesión de Fibonacci. Las espirales de plantas como el girasol muestran familias con un brazos, dos, tres, cinco, ocho, trece y, en general, tantos brazos como indica la serie de Fibonacci.
La sucesión de Fibonacci se genera a partir de los números b_0=1 y b_1=1, y cada nuevo término se construye sumando los dos anteriores: b_n = b_{n-1}+b_{n-2}.
¿Por qué aparece la sucesión de Fibonacci al usar el ángulo áureo? Las convergentes del número áureo tienen denominadores que encajan con los términos de la sucesión de Fibonacci. Por tanto, las espirales generadas con este ángulo mostrarán familias de brazos con estas cantidades tan llamativas.
Demostración
En el número áureo, todo slos coeficientes de la fracción continua son unos, c_k =1.
\varphi \,=\,1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{\cdots}}}} .Un cálculo directo conduce a las primeras convergentes:
\frac{a_0}{b_0} = \frac{1}{1}, \qquad \frac{a_1}{b_1} = \frac{2}{1}.A partir de aquí podemos usar las relaciones de recurrencia para calcular los siguientes nuemradores y denominadores. Como todos los coeficientes c_k son uno,
\left\{
\begin{align*}
a_n = a_{n-1}+a_{n-2}, \\
b_n = b_{n-1}+b_{n-2}.\,
\end{align*}
\right.La regla para generar los denominadores sigue la misma recurrencia que la sucesión de Fibonacci. Por tanto, la espiral generada con \varphi produce familias de brazos que siguen la sucesión de Fibonacci.
Los numeradores también siguen la sucesión de Fibonacci, pero estos no afectan al diseño de los brazos. Las convergentes son:
\frac{1}{1}\quad \frac{2}{1}\quad \frac{3}{2}\quad \frac{5}{3}\quad \frac{8}{5}\quad\frac{13}{8}\quad\cdots< Se pueden consultar estos ejemplos en Phyllotaxis- A systemic study in plant morphogenesis, de Roger V. Jean (1994).
Ángulos casi dorados
No todas las plantas muestran espirales formadas por el número áureo. Algunas, ni se le parecen. En el artículo de Roger V. Jean (1992), y en otros anteriores, se recoge una estadística interesante. Me limito a copiar la tabla del artículo y añadir algunos cálculos interesantes.
\def\arraystretch{2.5}
\begin{array}{c|c|c|c|c}
\text{Ángulo en grados} & \text{Ángulo en vueltas} &\text{Familias de brazos} & \text{Frecuencia} & \text{Porcentaje} \\
\hline
137.51& \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}& \left\langle 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... \right\rangle & 11\, 641& 91.3~\% \\
68.75& \dfrac{1+\sqrt{5}}{4}& 2\left\langle 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... \right\rangle & 666& 5.2~\% \\
99.50 & \dfrac{5-\sqrt{5}}{10}& \left\langle 1, 3, 4, 7, 11, ... \right\rangle & 190 & 1.5~\% \\
64.07& \dfrac{9-\sqrt{5}}{38}& \left\langle 1, 5, 6, 11, 17, ... \right\rangle & 38 & 0.3~\% \\
54.40& \dfrac{11-\sqrt{5}}{58}& \left\langle 1, 6, 7, 13, 20, ... \right\rangle & 32 & 0.25~\% \\
47.26& \dfrac{13-\sqrt{5}}{82}& \left\langle 1, 7, 8, 15, 23, ... \right\rangle & 25 & 0.2~\% \\
151.40 & \dfrac{7+\sqrt{5}}{22}& \left\langle 2, 5, 7, 12, 19, ... \right\rangle & 22 & 0.17~\% \\
77.96& \dfrac{7-\sqrt{5}}{22}& \left\langle 1, 4, 5, 9, 14, ... \right\rangle & 17 & 0.13~\% \\
\end{array}La primera línea de la tabla resume el titular del artículo: más del noventa por ciento de las plantas estudiadas presenta el ángulo áureo en su forma principal. Más de once mil ejemplares.
En la segunda línea encontramos la forma bijugada. En ella, los puntos de la espiral no se colocan uno a uno, sino que aparecen por parejas de puntos enfrentados. Por cuestiones técnicas, se considera que el ángulo de separación entre puntos es la mitad del ángulo áureo, pero el diseño espiral es casi idéntico al de la divina proporción.
< Forma bijugada. Cada punto tiene una pareja colocada de forma simétrica.
El resto de líneas muestran construcciones similares. Observa que los brazos espirales siguen el mismo patrón: el número de brazos de una familia es la suma de los de las dos familias anteriores. La única diferencia entre estas secuencias es que comienzan el cálculo en valores distintos. Si obviamos la penúltima línea de la tabla, encontramos la tercera, cuarta, quinta y segunda secuencias accesorias, respectivamente. La penúltima línea de la tabla nos muestra la primera secuencia lateral.
Aunque los ángulos de la tabla no tengan una relación aparente, son muy similares cuando los transformamos en fracciones continuas. Por ejemplo, estos son los ángulos de las secuencias accesorias, escritos como una porción de vuelta:
< Algunas de estas sucesiones tienen nombre propio. Cuando los números iniciales son uno y tres, se genera la sucesión de Lucas:
1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, ...
\dfrac{5-\sqrt{5}}{10} = \cfrac{1}{3+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{\cdots}}}}\dfrac{7-\sqrt{5}}{22} = \cfrac{1}{4+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{\cdots}}}}\dfrac{9-\sqrt{5}}{38} = \cfrac{1}{5+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{\cdots}}}}\dfrac{11-\sqrt{5}}{58} = \cfrac{1}{6+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{\cdots}}}}¡Todos tienen una fracción continua similar! El primer coeficiente es diferente en cada ángulo, pero el resto mantiene la estructura de torre infinita de unos. Lo mismo ocurre con la primera secuencia lateral: salvo los primeros coeficientes, la fracción continua es una lista de unos (¡compruébalo!).
Tiene cierto sentido: los primeros coeficientes de la fracción continua indican cómo se entremezclan las familias de brazos en la zona central de la espiral. Los siguientes coeficientes, la zona exterior. Como el centro de la espiral es una zona pequeña y ocupa poco espacio, que los primeros brazos se intersequen de forma marcada no afecta demasiado a la distribución de las hojas o semillas. Solo afecta a una decena de puntos centrales. Para un humano común es difícil detectar la diferencia en los puntos exteriores, porque se mantiene el entrelazamiento de brazos sutil que genera la torre de infinitos unos. Eso sí, matemáticamente los puntos exteriores tienen una posición distinta con estos ángulos. Técnicamente producen una espiral distinta, pero visualmente no lo parece.
8 – La conclusión de las conclusiones
El número de oro es la joya manida de la divulgación matemática. Sobre todo cuando se relaciona con el arte o la naturaleza, temáticas en las que, además, se suelen incluir ejemplos erróneos. Muchas veces se presenta como una constante misteriosa que guarda el secreto para la belleza y la proporción divina. Con este proyecto quería dar argumentos matemáticos y físicos para justificar por qué aparece el número áureo en tantas especies vegetales.
Esta página nació para complementar el vídeo que publiqué en YouTube. Está inspirado de un artículo magistral de Carmen Casares Antón, Arquitectura de inflorescencias y fracciones continuas, publicado en la Gaceta de la RSME en 2020. Es para llorar de lo bueno que es, y un punto de partida precioso para investigar sobre el tema.
Mi intención con este texto no es solo añadir las demostraciones al vídeo del canal, sino enseñar el trabajo de investigación que conllevan los proyectos que elijo para Lemnismath. Detrás de cada tema hay un océano de libros, artículos, teoremas, comentarios y puntos de vista que es díficil condensar en menos de quince minutos. Este artículo da una idea de la gran cantidad de información que no se muestra en el vídeo; de todo lo que queda a unos metros de la superficie.
¡Espero que te haya aportado algo!