El teorema de los doce pentágonos

Quiero hablaros hoy de un resultado sorprendente: el teorema de los doce pentágonos. En su versión informal afirma que para cubrir una esfera con hexágonos y pentágonos, de forma que concuerden entre sí como mosaicos, sin superponerse, es obligatorio que la estructura tenga exactamente doce pentágonos. Ni uno más ni uno menos. ¡Siempre doce! Ejemplo de ello son algunas pelotas de golf, que muestran una disposición con doce pentágonos y muchos hexágonos, como esta:

He marcado uno de los pentágonos sobre la bola. Hay otro justo antes de la «C» de Callaway, y otro justo después de la «y». En toda la bola hay doce pentágonos, como afirma el teorema, ¡pero no los puedo enseñar todos en una sola foto!

Los doce pentágonos aparecen en cualquier estructura que recubra una esfera con hexágonos y pentágonos. La encontramos en la forma de algunos virus, en las pelotas de fútbol, en las cúpulas arquitectónicas o en las moléculas de carbono con forma de esfera conocidas como fullerenos. En todos los casos, sin importar la configuración exacta del mosaico, la superficie presenta siempre doce pentágonos. El número de hexágonos puede variar, pero los doce pentágonos son un requisito indispensable para que la estructura pueda existir. ¡Siempre debe haber doce!

Vale. ¿Y cómo sabemos que siempre habrá doce pentágonos? En este artículo vamos a demostrar el teorema y dar algunas propiedades relacionadas. ¡Vamos al lío!

Es imposible usar solo hexágonos

Empecemos con una versión más simple del teorema:

Debemos matizar a qué me refiero con que los hexágonos deben «encajar entre sí». En cada vértice de la estructura deben coincidir exactamente tres hexágonos; y en cada arista, dos. Por poner un ejemplo, las dos estructuras de la imagen no serían válidas porque las figuras no encajan correctamente: la primera tiene un vértice donde coinciden cuatro hexágonos y la segunda tiene una arista donde coinciden varios hexágonos. ¡Estas son incorrectas!

Los hexágonos de la malla sí que pueden tener lados de distinta longitud. Así los podemos doblar o estirar para crear una estructura que se asemeje a una esfera. La sección anterior contiene varias imágenes con estructuras válidas.

En estas condiciones podemos usar la fórmula de Euler para poliedros convexos. Cualquier poliedro con aspecto de esfera que tenga C caras, A aristas y V vértices, satisface la condición

C-A+V=2.

Todos los poliedros convexos deben cumplir esa relación. Y como veremos dentro de un momento, es imposible recubrir una esfera con un mosaico hexagonal sin violar la fórmula de Euler.

Imagina que intentamos recubrir completamente una esfera utilizando únicamente hexágonos. Supongamos que la estructura final tiene C caras hexagonales.

Cada hexágono tiene 6 lados, así que entre todos suman 6C lados. Al encajar los hexágonos en la figura tridimensional, cada arista se forma al hacer coincidir los lados de dos hexágonos. Es decir, cada arista de la figura final equivale a dos lados de los hexágonos originales. Por tanto, el número total de aristas será la mitad de todos los lados que hemos calculado:

A=\frac{6C}{2}=3C.

Análogamente, cada hexágono tiene 6 vértices, así que entre todos suman 6C vértices. Al encajar los hexágonos en la figura tridimensional, en cada vértice coinciden las esquinas de tres hexágonos. Es decir, cada vértice de la figura final equivale a tres vértices de los hexágonos originales. Por tanto, el número total de vértices será un tercio de todos los vértices que hemos calculado:

V=\frac{6C}{3}=2C.

Al sustituir estos valores en la fórmula de Euler llegamos a una contradicción. El lado izquierdo se simplifica completamente y es imposible que el total sume dos.

\begin{align*}
C~-~A~+~V ~&= 2, \\[4pt]
C-3C+2C &= 2, \\[4pt]
0 &= 2 ~~~~(!)
\end{align*}

Por tanto, es imposible recubrir una esfera únicamente con hexágonos, ya que la estructura no cumpliría la fórmula de Euler (y es de obligatorio cumplimiento). Esto no debería desanimarnos. Lo que debemos hacer es cambiar alguna de las condiciones del enunciado de alguna manera. Y un cambio razonable es permitir que las caras de la figura sean hexágonos y pentágonos.

El teorema de los doce pentágonos

Vamos a construir la estructura con pentágonos y hexágonos. La idea es la misma de antes: unir los polígonos entre sí, haciendo coincidir tres caras en cada vértice, para formar una estructura que pueda recubrir una esfera.

Supongamos que la estructura tiene P pentágonos y H hexágonos. En ese caso, el número total de caras de la figura será C=P+H.

En cuanto al número de aristas, cada pentágono tiene cinco lados y cada hexágono, seis, así que entre todos suman 6H+5P lados. Al encajar los polígonos en la figura tridimensional, cada arista se forma al hacer coincidir los lados de dos caras. Es decir, cada arista de la figura final equivale a dos lados de los polígonos originales. Por tanto, el número total de aristas será la mitad de todos los lados que hemos calculado:

A=\frac{6H+5P}{2}.

En cuanto al número de vértices, cada pentágono tiene cinco y cada hexágono, seis, así que entre todos suman 6H+5P vértices. Al encajar los polígonos en la figura tridimensional, en cada vértice coinciden las esquinas de tres caras. Es decir, cada vértice de la figura final equivale a tres vértices de los polígonos originales. Por tanto, el número total de vértices será un tercio de todos los vértices que hemos calculado:

V=\frac{6H+5P}{3}.

Al sustituir estos valores en la fórmula de Euler, ocurre algo curioso: todos los términos relacionados con los hexágonos se simplifican, y la fórmula permite despejar el valor de P. En primer lugar, observa que

\begin{align*}
C-A+V &=(H+P)-\frac{6H+5P}{2}+\frac{6H+5P}{3} \\[4pt]
&=\frac{6H+6P-18H-15P+12H+10P}{6} \\[4pt]
&=\frac{P}{6}.
\end{align*}

Puesto que C-A+V = 2, podemos despejar que P=12. Es decir, el número de pentágonos de la estructura es doce. ¡Siempre! Y esto es lo que observamos en las pelotas de golf, de fútbol o distintas moléculas de carbono.

La fórmula fuerza la cantidad de pentágonos, pero no da información sobre el número de hexágonos. El caso más divertido es el uso de cero hexágonos. La forma de esa estructura es un dodecaedro: un sólido regular formado por doce pentágonos regulares y cero hexágonos. Otras figuras, como el icosaedro truncado, tienen veinte caras hexagonales. Esta es la forma de muchos balones de fútbol. Presento las dos aquí debajo.

¿Y cuántos hexágonos hacen falta?

La fórmula de Euler no limita el número de hexágonos de ninguna manera. La siguiente pregunta natural es: ¿podemos recubrir una esfera con doce pentágonos y cualquier número de hexágonos? ¿O existe alguna limitación en la cantidad de hexágonos que podemos utilizar? Este es el teorema de Motzkin-Grünbaum.

La demostración original es de 1963, pero voy seguir el argumento de Voytekhovsky y Stepenshchikov (¡menudos nombres!). Su razonamiento es constructivo y se basa en tres puntos:

• El dodecaedro demuestra que existe un recubrimiento con cero hexágonos.
• Vamos a demostrar que es imposible un recubrimiento con un hexágono.
• Vamos a demostrar que sí existen recubrimientos con dos o más hexágonos.

No hay estructuras con un solo hexágono

En caso de usar un único hexágono, la fórmula de Euler no conduce a ninguna contradicción. Pero cuando intentamos construir la estructura descubrimos que no se puede completar. Para verlo, imagina que construimos la estructura pieza a pieza, comenzando por el hexágono. Junto a él colocamos seis pentágonos como indica la figura de abajo. Observa que, si queremos mantener la norma de que en cada vértice coinciden tres caras, solo hay una forma de colocarlos.

Los demás pentágonos solo se pueden colocar intercalados entre los demás, como muestra el tercer paso de la figura anterior. La estructura final no es cerrada: deja un hueco hexagonal en la parte superior. Puesto que no existe otra forma de colocar los pentágonos, deducimos que una figura con único hexágono (y doce pentágonos) no puede existir. ¡Se queda con un agujero!

El método de la tira de hexágonos

El argumento anterior muestra que se puede construir un poliedro con doce pentágonos y dos hexágonos: ¡solo hay que tapar el agujero que falta con un hexágono! No obstante, déjame dibujar la estructura tridimensional como dos mitades que encajan entre sí. De esta manera:

Con ensayo y error encontramos poliedros con doce pentágonos y dos, tres, cuatro, cinco, seis o siete hexágonos. Los represento en la siguiente lista, separados por mitades. Observa que la segunda mitad de la figura es igual en todos los casos salvo en el caso de seis hexágonos. Algunos son más achatados, otros más abombados, pero todos tienen los doce pentágonos de rigor.

Lo interesante es que las dos mitades de todas las figuras tienen algo en común: tienen un borde zigzagueante de seis dientes (seis picos salientes y seis entrantes, intercalados entre sí). Por ello, entre las dos mitades siempre podemos intercalar una tira de seis hexágonos, cerrada en forma de anillo. Así podemos añadir seis hexágonos a cualquiera de las estructuras anteriores. Por ejemplo, para construir el poliedro con diez hexágonos basta con tomar la estructura de cuatro hexágonos y añadir una tira entre las dos mitades. Antes de juntar todas las piezas, la figura tendría este aspecto:

También se pueden añadir varias tiras a la vez, puesto que encajan entre sí, lo que nos permite crear poliedro mucho más grandes. Por ejemplo, una estructura de 65 hexágonos se forma separando las mitades del poliedro de cinco hexágonos y colocando diez tiras entre ellas. De esta manera podemos construir cualquier estructura con n \geq 2 hexágonos (y doce pentágonos). Quizá no sea la estructura más bonita, y quizá tenga más forma de pepino que de esfera, pero hemos demostrado que existe.

En general, las estructuras con n hexágonos no son únicas. El número de formas de ensamblar pentágonos y hexágonos da lugar a muchas combinaciones distintas (se pueden consultar en el OEIS). Por ejemplo, existen 1812 poliedros esferoides con veinte hexágonos y doce pentágonos.