Hola, corazones. Os comento qué ideas sacaría yo para un taller con el material que hemos visto estos días. Hay dos secciones en esta página: una de cosas que ya he explicado, y otras de cosa que explicaremos mañana entre todos.

Mañana trataremos los temas de la sección Para mañana. La idea es que, a quien le interese, prepare una explicación de algo que le haya llamado la atención de los juegos con los que ha jugado hoy. Yo dejo algunas ideas más abajo. Si alguien se prepara algún tema de la lista, que lo explique mañana en clase. Si algún tema no tiene voluntarios, lo explico yo. No creo que haya conflictos, porque cada grupo ha jugado a un juego distinto.

Para mañana

Juego del chocolate envenenado

En una tableta de chocolate (m×n), la onza de la esquina inferior izquierda está envenenada. Un compañero y tú os alternáis para darle mordiscos a la tableta. Los mordiscos siguen una regla peculiar: eliges una onza de la tableta y te comes todos los cuadrados que están en el cuadrante superior derecho. Muere (o pierde) el jugador que muerda la onza envenenada. 

• Aquí revisaría el fisquito de Nacho, que puede consultarse aquí. En particular, explicaría por qué el primer jugador tiene estrategia ganadora.

Juego del divide y vaciarás

Dos cajas contienen n y m bolas, respectivamente. Dos jugadores juegan por turnos a vaciar las cajas. En cada turno, el jugador debe elegir una de las cajas, vaciarla, y repartir las bolas de la otra caja entre las dos cajas, de forma que haya al menos una bola en cada caja. Pierde el jugador que no pueda completar su turno. Es decir, gana el jugador que consiga dejar una bola en cada caja. 

• ¡Este tiene estrategia ganadora! Consiste en dejarle al oponente una posición donde ambas cajas tengan un número impar de bolas. ¿Por qué?

Problema de reina a la fuga y el juego de Wythoff

Sobre la mesa hay dos montones con n y m fichas. Dos jugadores juegan por turnos. En cada turno pueden quitar tantas fichas como quieran de un solo montón o quitar la misma cantidad de fichas de los dos montones a la vez. Gana quien quite la última ficha de la mesa.  

Se coloca una reina en el tablero de ajedrez. Dos jugadores mueven la reina por turnos. En cada turno, la reina puede moverse horizontalmente (hacia la izquierda), verticalmente (hacia abajo), y diagonalmente (hacia abajo-izquierda) tantas casillas como guste. Gana el jugador que coloque la reina en la casilla de la esquina inferior izquierda. 

• Aquí presentaría los dos problemas y explicaría por qué son equivalentes.
• Además, tantearía sobre un tablero de ajedrez qué posiciones son ganadoras para el primer jugador, y cuáles son perdedoras.
• Mencionaría su relación con el número áureo y, si mis gónadas dieran de sí, intentaría estudiar por qué aparece esta relación con la divina proporción.

Juego de Grundy

Sobre la mesa hay un único montón con n fichas, y dos jugadores se turnan para dividirlo en varios montones. En cada turno, el jugador debe dividir un montón de la mesa en dos montones de diferente tamaño. Pierde el jugador que no pueda completar su turno. 

• Thank u, next. Es complicadillo. Lo único «remarcable» que saco es que una partida con n fichas se puede reducir a una partida con un número menor de fichas. Pero ya ves tú. A lo mejor hay algo interesante siguiendo esa línea.
• Es una especie de nim encubierto, como consecuencia del teorema de Sprague-Grundy.

Hex

Dos oponentes juegan con fichas blancas y negras, respectivamente. En cada turno, cada jugador coloca una ficha en una casilla libre de un tablero con forma de diamante compuesto por hexágonos. El objetivo de las fichas blancas es crear una cadena continua de fichas blancas que una la parte superior e inferior del tablero. El de las fichas negras, crear una cadena continua de fichas negras que una la parte derecha e izquierda del tablero. Estas cadenas no tienen que ser rectas. 

• La estrategia ganadora no se conoce para el caso general. Para tableros con pocas casillas, como el que tenemos en el taller, sí. Creo que hasta 9\times 9 se conoce.
• Una cosa muy bonita: es imposible que el juego acabe en un empate (aquí hay un razonamiento bastante gráfico y muy majo, que es el mismo que este).
• Otra cosa menos bonita y más abstracta: el primer jugador tiene la estrategia ganadora. Se puede consultar una demostración en este enlace.

Problema del nim

Sobre la mesa hay tres montones con a, b y c fichas (puedes probar con 2, 3 y 4 fichas, para empezar). Dos jugadores quitan fichas de los montones por turnos. En cada turno, el jugador debe quitar un número positivo de fichas de uno de los montones. Gana el jugador que retira la última ficha de la mesa.

• Daría la famosa explicación del juego, que se puede encontrar aquí.
• Como ya hice en mi última charla, daría la intuición geométrica que hay tras esa estrategia.
• Mencionaría el teorema de Sprague-Grundy.

Problema de la carrera de tortugas

En una pista de atletismo se celebra una carrera de tortugas. Por turnos, dos jugadores mueven las tortugas hacia la meta. En cada turno, el jugador mueve una de las tortuga tantas casillas hacia la derecha como desee. En cada casilla solo cabe una tortuga. Además, una tortuga no puede adelantar o saltar por encima de otra. El jugador que no pueda mover ninguna tortuga, pierde.

• Estrategia con dos tortugas, fácil.
• Tiene algo que ver con el nim, pero estoy pensando cómo se relaciona exactamente. Voy a ver qué se me ocurre esta tarde.

Lo que ya hemos visto

Sobre la mesa hay un montón con n fichas. Dos jugadores roban, por turnos, una, dos o tres fichas del montón. Gana el jugador que retire la última ficha de la mesa.